ક્વૉન્ટમ આંકો અને કક્ષકો: નિયમો, ગણતરીઓ અને આકારો

તરંગ તરીકે ઇલેક્ટ્રૉન: ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ

1924 માં ડી બ્રોગ્લીએ સૂચવ્યું કે દરેક ગતિશીલ કણની તરંગલંબાઈ λ = h/(mv) હોય છે, જ્યાં h પ્લાન્ક અચળાંક, m દળ અને v વેગ છે. રોજિંદા પદાર્થો માટે તરંગલંબાઈ ધ્યાનમાં આવે તે માટે અત્યંત નાની છે. 40.0 m/s વેગે જતા 0.145 kg ના બેઝબૉલ માટે λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m છે. 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) દળવાળા ઇલેક્ટ્રૉન માટે, તરંગલંબાઈ પરમાણુના કદ સાથે તુલનાત્મક છે.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ 1. 2.188 × 10⁶ m/s વેગે ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રૉન માટે λ = h/(mv). CODATA મૂલ્યો h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s અને m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg સાથે, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, અથવા 0.3324 nm. આ એ જ વેગ છે જે બોહરનું મૉડલ હાઇડ્રોજનની સૌથી નીચી કક્ષામાંના ઇલેક્ટ્રૉનને આપે છે, જેની ત્રિજ્યા બોહર ત્રિજ્યા, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA), છે. કક્ષાનો પરિઘ 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m છે, તેથી ઇલેક્ટ્રૉનની એક તરંગલંબાઈ તેની આસપાસ બંધબેસે છે, 0.02% કરતાં વધુ સારી સુસંગતતા સાથે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉન તરંગે પોતાને રદ કર્યા વિના પોતાની જગ્યામાં બંધબેસવું પડે, ત્યારે ક્વૉન્ટીકૃત ઊર્જા સ્તરો મળે છે, લગભગ એ જ રીતે જેમ ગિટારનો તાર ફક્ત અમુક આવૃત્તિઓએ જ કંપન કરી શકે છે.

અનિશ્ચિતતા અને નિશ્ચિત કક્ષાઓનો અંત

હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત સ્થાન અને વેગમાન એકસાથે કેટલી સારી રીતે જાણી શકાય તેની મર્યાદા નક્કી કરે છે: Δx·Δp ≥ ħ/2, જ્યાં ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ 2. ઇલેક્ટ્રૉનને 1.0 × 10⁻¹⁰ m પહોળા પ્રદેશમાં સીમિત કરો, જે આશરે પરમાણુના કદ જેટલો છે. ત્યારે Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, અને Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. વેગમાંની અનિશ્ચિતતા વેગના પોતાના નોંધપાત્ર ભાગ જેટલી છે, તેથી ગ્રહની કક્ષા જેવો નિશ્ચિત માર્ગ પરમાણુમાંના ઇલેક્ટ્રૉન માટે અર્થહીન છે.

ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્ર માર્ગને બદલે તરંગવિધેય, ψ, મૂકે છે. તેનો વર્ગ, ψ², સંભાવના ઘનતા છે: નાના પ્રદેશના કદ વડે ગુણતાં, તે ત્યાં ઇલેક્ટ્રૉન મળવાની સંભાવના આપે છે. કક્ષક એ એક ઇલેક્ટ્રૉન માટેનું તરંગવિધેય છે, અને કક્ષકનાં પરિચિત ચિત્રો એવી સપાટીઓ છે જે તે સંભાવનાનો મોટો ભાગ, ઘણી વાર 90%, ઘેરી લે છે.

n, l, mₗ અને mₛ નાં માન્ય મૂલ્યો

હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે તરંગ સમીકરણ ઉકેલતાં ત્રણ ક્વૉન્ટમ આંકો મળે છે, જેમાંનો દરેક તેની પહેલાંના આંક વડે પ્રતિબંધિત છે. ચોથો આંક ઇલેક્ટ્રૉનના ચક્રણનું વર્ણન કરે છે. આખી રમત પ્રતિબંધોની જ છે.

• મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક n = 1, 2, 3, …. તે કોશ અને, હાઇડ્રોજનમાં, ઊર્જા નક્કી કરે છે. મોટા n નો અર્થ છે મોટી, ઊંચી ઊર્જાવાળી કક્ષક.
• કોણીય વેગમાન ક્વૉન્ટમ આંક l = 0, 1, …, n − 1. તે ઉપકોશ અને આકાર નક્કી કરે છે: l = 0, 1, 2, 3 એ s, p, d, f છે.
• ચુંબકીય ક્વૉન્ટમ આંક mₗ = −l, …, 0, …, +l, જે 2l + 1 મૂલ્યો આપે છે. તે અવકાશમાં કક્ષકનું દિગ્વિન્યાસ નક્કી કરે છે.
• ચક્રણ ક્વૉન્ટમ આંક mₛ = +½ અથવા −½. તે બાકીના ત્રણ પર આધાર રાખતો નથી.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ: ક્વૉન્ટમ આંકોના છ સમૂહોની ચકાસણી

સમૂહ (n, l, mₗ, mₛ) ચકાસવા માટે, દરેક આંકને તેની પહેલાંના આંક સામે, ક્રમમાં, ચકાસો. પ્રથમ ઉલ્લંઘન પર અટકી જાઓ.

(3, 3, 0, +½) માન્ય નથી: l વધુમાં વધુ n − 1 = 2 હોવો જોઈએ. (4, 2, −3, −½) માન્ય નથી: l = 2 સાથે, mₗ ફક્ત −2 થી +2 સુધી જ જાય છે. (3, 2, 1, 0) માન્ય નથી: mₛ +½ અથવા −½ હોવો જોઈએ, ક્યારેય 0 નહીં. (2, 1, −1, −½) માન્ય છે અને 2p કક્ષકમાંના ઇલેક્ટ્રૉનનું વર્ણન કરે છે. (5, 0, 0, +½) માન્ય છે અને 5s ઇલેક્ટ્રૉનનું વર્ણન કરે છે. (4, 3, −3, +½) માન્ય છે અને 4f ઇલેક્ટ્રૉનનું વર્ણન કરે છે.

માન્ય સમૂહ પરથી કક્ષકનું નામ આપવા, n લખો અને તેના પછી l માટેનો અક્ષર લખો. mₗ નું મૂલ્ય ઉપકોશમાંથી એક કક્ષક પસંદ કરે છે પરંતુ આ સંકેતનમાં તેનું નામ બદલતું નથી.

પ્રતિબંધ હેઠળ કક્ષકો અને ઇલેક્ટ્રૉનની ગણતરી

જો તમે માન્ય l મૂલ્યોની યાદી બનાવો, પછી દરેક માટે mₗ મૂલ્યો લખો, અને ત્યાર પછી જ પ્રતિબંધ લાગુ કરો, તો ગણતરીના પ્રશ્નો સહેલા બની જાય છે. દરેક કક્ષક, એટલે કે દરેક માન્ય (n, l, mₗ) સંયોજન, બે ઇલેક્ટ્રૉન ધરાવે છે, દરેક ચક્રણવાળો એક.

મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક n વાળા કોશમાં n² કક્ષકો અને 2n² ઇલેક્ટ્રૉન હોય છે. n = 4 માટે, l 0, 1, 2 અથવા 3 હોઈ શકે છે, જે 1 + 3 + 5 + 7 = 16 કક્ષકો અને 32 ઇલેક્ટ્રૉન આપે છે.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ 3. પરમાણુમાં કેટલા ઇલેક્ટ્રૉન n = 3 અને mₗ = +1 ધરાવી શકે? n = 3 માટે l મૂલ્યો 0, 1 અને 2 છે. mₗ = +1 ફક્ત l ≥ 1 હોય ત્યારે જ શક્ય છે, તેથી આવી એક કક્ષક 3p માં અને એક 3d માં છે: બે કક્ષકો, ચાર ઇલેક્ટ્રૉન. કેટલા ઇલેક્ટ્રૉન n = 5 અને mₛ = +½ ધરાવી શકે? કોશ 5 માં 5² = 25 કક્ષકો છે, દરેકમાં એક +½ ઇલેક્ટ્રૉન, તેથી 25. કેટલા ઇલેક્ટ્રૉન n = 4 અને l = 2 ધરાવી શકે? તે 4d ઉપકોશ છે: 5 કક્ષકો અને 10 ઇલેક્ટ્રૉન.

કક્ષકના આકારો અને નોડની ગણતરી

નોડ એ એવું સ્થાન છે જ્યાં ψ, અને તેથી ઇલેક્ટ્રૉન મળવાની સંભાવના, શૂન્ય હોય છે. કક્ષકમાં કુલ n − 1 નોડ હોય છે. તેમાંથી, l કોણીય નોડ છે, જે ન્યુક્લિયસમાંથી પસાર થતાં સમતલો કે શંકુઓ છે, અને બાકીના n − l − 1 ત્રિજ્યીય નોડ છે, જે નિશ્ચિત અંતરોએ આવેલાં ગોળાકાર કવચ છે. OpenStax Chemistry 2e (વિભાગ 6.3) ત્રિજ્યીય-નોડનો નિયમ આપે છે.

s કક્ષકો (l = 0) ગોળાકાર છે અને તેમાં કોઈ કોણીય નોડ નથી, તેથી 2s કક્ષકમાં એક ત્રિજ્યીય નોડ અને 3s કક્ષકમાં બે હોય છે. p કક્ષકો (l = 1) માં ન્યુક્લિયસની સામસામી બાજુએ બે ખંડો હોય છે અને તેમની વચ્ચે એક નોડલ સમતલ હોય છે; ત્રણેયને તેઓ જે અક્ષની દિશામાં હોય તે પરથી pₓ, p_y અને p_z લેબલ અપાય છે. d કક્ષકો (l = 2) માં બે કોણીય નોડ હોય છે. તેમાંની ચારમાં ચાર ખંડો હોય છે; પાંચમી, d_z², માં z અક્ષ પર બે ખંડો અને મધ્યની આસપાસ એક વલય હોય છે.

ઉકેલેલું ઉદાહરણ 4. 3p કક્ષકમાં 3 − 1 − 1 = 1 ત્રિજ્યીય નોડ અને 1 કોણીય નોડ હોય છે. 4d કક્ષકમાં 1 ત્રિજ્યીય નોડ અને 2 કોણીય નોડ, કુલ 3, હોય છે. 3d કક્ષકમાં કોઈ ત્રિજ્યીય નોડ નથી, અને 6s કક્ષકમાં 5 હોય છે.

જ્યારે એક જ કોશની કક્ષકોની ઊર્જા અલગ હોય

હાઇડ્રોજનમાં, ઊર્જા ફક્ત n પર આધાર રાખે છે, તેથી 3s, 3p અને 3d ની ઊર્જા સમાન છે. એકથી વધુ ઇલેક્ટ્રૉનવાળા પરમાણુઓમાં, બીજા ઇલેક્ટ્રૉન ન્યુક્લિયસનું અસમાન રીતે આવરણ કરે છે. s ઇલેક્ટ્રૉન એ જ કોશના p કે d ઇલેક્ટ્રૉન કરતાં ન્યુક્લિયસની વધુ નજીક પ્રવેશે છે, ન્યુક્લિયર વીજભારનો વધુ ભાગ અનુભવે છે અને ઓછી ઊર્જા ધરાવે છે. પરિણામ કોશની અંદર s < p < d < f વિભાજન છે, જે ઇલેક્ટ્રૉન રચનાઓની માર્ગદર્શિકામાં આવરી લીધેલો ભરવાનો ક્રમ નક્કી કરે છે.

એક જ ઉપકોશની કક્ષકો, જેમ કે ત્રણ 2p કક્ષકો, અલગ પરમાણુમાં સમાન ઊર્જાવાળી રહે છે. તેમને સમઊર્જ કહેવાય છે. અણુ કે સ્ફટિકમાં આસપાસના પરમાણુઓ તે સમઊર્જતા તોડી શકે છે.

ક્વૉન્ટમ આંકોની ભૂલો જે ચકાસવી જોઈએ

લગભગ દરેક ભૂલ યાદી બનાવવાનું પગલું છોડી દેવાથી આવે છે. શંકા હોય ત્યારે, ગણતરી કરતાં પહેલાં દરેક માન્ય મૂલ્ય લખી કાઢો.

• l ને n જેટલો થવા દેવો. સૌથી મોટો માન્ય l n − 1 છે, તેથી 1p કે 2d કક્ષક અસ્તિત્વમાં નથી.
• mₗ મૂલ્યોને −l થી +l ને બદલે 0 થી l સુધી ગણવાં, જેનાથી કક્ષકો ઓછી ગણાય છે.
• પ્રશ્ન ઇલેક્ટ્રૉન પૂછે ત્યારે કક્ષકો ગણવી, અથવા તેનાથી ઊલટું. દરેક કક્ષક બે ઇલેક્ટ્રૉન ધરાવે છે.
• mₛ ને 0 કે 1 મૂલ્ય આપવું. ચક્રણ ફક્ત +½ અથવા −½ જ છે.
• n − l − 1 ને નોડની કુલ સંખ્યા તરીકે વાપરવું. તે સૂત્ર ફક્ત ત્રિજ્યીય નોડ ગણે છે; કુલ n − 1 છે.
• 90% સીમા સપાટીને કઠોર કિનારી તરીકે ગણવી. ઇલેક્ટ્રૉન ઘનતા ધીમે ધીમે ઘટે છે અને તેની કોઈ તીક્ષ્ણ સીમા નથી.