Chiffres significatifs dans les calculs de chimie

Nombres mesurés et nombres exacts

Une valeur mesurée est incertaine, car tout instrument a une limite. Quand vous lisez une burette graduée par pas de 0.1 mL, vous notez les graduations certaines, puis vous estimez un chiffre de plus entre elles ; une lecture comme 18.36 mL compte donc quatre chiffres significatifs : trois chiffres certains et un chiffre estimé. Écrire 18.360 mL revendiquerait une précision que la burette ne peut pas fournir.

Les nombres exacts n'ont aucune incertitude de mesure. Ils proviennent du dénombrement (12 tubes à essai dans un support), de définitions (1 pouce vaut exactement 2.54 cm, et 1 L vaut exactement 1000 mL), ainsi que des coefficients et des indices des formules et des équations chimiques. Considérez que les nombres exacts ont un nombre illimité de chiffres significatifs : ils ne limitent donc jamais la précision d'un résultat calculé.

Compter les chiffres, y compris les zéros délicats

Les chiffres non nuls sont toujours significatifs. Les zéros sont significatifs ou non selon qu'ils rendent compte d'une information mesurée ou qu'ils servent seulement à placer la virgule décimale. Les règles ci-dessous couvrent tous les cas que vous rencontrerez en chimie générale.

Les zéros finaux d'un nombre entier sans point décimal sont le seul cas vraiment ambigu. Une masse écrite 1200 g peut être connue avec deux, trois ou quatre chiffres significatifs. La notation scientifique lève l'ambiguïté : 1.2 × 10³ g en compte deux, 1.20 × 10³ g en compte trois et 1.200 × 10³ g en compte quatre.

• Les zéros situés entre des chiffres non nuls sont significatifs : 30.506 g en compte cinq.
• Les zéros initiaux ne sont jamais significatifs ; ils servent seulement à placer la virgule décimale : 0.004070 m en compte quatre (4, 0, 7, 0).
• Les zéros finaux à droite du point décimal sont significatifs : 2.500 mL en compte quatre.
• Les zéros finaux d'un nombre entier sans point décimal sont ambigus ; utilisez la notation scientifique pour préciser votre intention.

Addition et soustraction : aligner les décimales

Quand on additionne ou soustrait des grandeurs, l'incertitude qui compte est l'incertitude absolue sur la dernière décimale, et non le nombre de chiffres significatifs. Arrondissez le résultat au même nombre de décimales que la mesure qui en compte le moins.

Exemple résolu 1. Vous réunissez trois portions d'un solide pesées sur des balances différentes : 12.6 g, 0.237 g et 105.42 g. La calculatrice affiche 118.257 g. La première masse n'est connue qu'au dixième, donc la somme n'est connue qu'au dixième : 118.3 g. Remarquez que la réponse compte quatre chiffres significatifs alors qu'une des données n'en avait que trois ; dans une addition, ce n'est pas le nombre de chiffres qui limite le résultat.

La soustraction peut détruire des chiffres significatifs. Supposons qu'un flacon contenant un liquide pèse 58.36 g sur une balance à plateau supérieur et que le flacon vide pesait 57.912 g sur une balance analytique. La différence est de 0.448 g sur la calculatrice, mais la première masse n'est connue qu'au centième ; la masse du liquide est donc 0.45 g. Il ne reste que deux chiffres significatifs à partir de données qui en avaient quatre et cinq. Quand une petite différence entre deux grands nombres importe, pesez les deux sur la balance la plus précise.

Multiplication et division : compter les chiffres significatifs

Pour les produits et les quotients, c'est l'incertitude relative qui se propage. Arrondissez le résultat au même nombre de chiffres significatifs que la donnée qui en compte le moins.

Exemple résolu 2. Un bloc rectangulaire mesure 4.20 cm sur 2.15 cm sur 1.8 cm. Le volume est 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ sur la calculatrice. La hauteur n'a que deux chiffres significatifs, donc le volume s'exprime 16 cm³. Mesurer la hauteur plus soigneusement, par exemple 1.80 cm au pied à coulisse, serait la seule façon de justifier un troisième chiffre.

Les logarithmes suivent une règle apparentée, qui intervient dans les calculs de pH : le nombre de décimales du logarithme est égal au nombre de chiffres significatifs de la valeur d'origine. Une concentration en ions hydrogène de 3.4 × 10⁻⁴ mol/L a deux chiffres significatifs ; son pH s'exprime donc avec deux décimales, 3.47.

N'arrondir qu'une fois, à la fin d'un calcul en plusieurs étapes

Dans un calcul à plusieurs étapes, conservez au moins un ou deux chiffres supplémentaires (chiffres de garde) dans chaque valeur intermédiaire et n'arrondissez que la réponse finale. Suivez le nombre de chiffres significatifs que justifie chaque étape, mais ne supprimez des chiffres qu'à la fin. Arrondir à chaque étape ajoute à chaque fois une petite erreur, et ces erreurs peuvent modifier le dernier chiffre indiqué.

Exemple résolu 3. Vous dissolvez 1.37 g de chlorure de sodium dans de l'eau et vous complétez à exactement 50.00 mL dans une fiole jaugée. Avec les masses atomiques standard de l'IUPAC arrondies à deux décimales (Na 22.99, Cl 35.45), la masse molaire de NaCl est 58.44 g/mol. La quantité de matière est 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, conservée sans arrondi. Le volume est 0.05000 L, donc la concentration est 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, que l'on arrondit à 0.469 mol/L parce que la masse a trois chiffres significatifs.

Si vous aviez d'abord arrondi la quantité de matière à 0.0234 mol, vous obtiendriez 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. L'écart est faible, mais c'est une véritable erreur introduite par l'arithmétique et non par les mesures, et elle peut grandir dans des chaînes de calcul plus longues.

Quand arrondir les chiffres à mi-chemin vers le haut ou vers le chiffre pair

Si le premier chiffre supprimé est inférieur à 5, laissez le chiffre conservé tel quel ; s'il est supérieur à 5, ou s'il est 5 suivi de chiffres non nuls, arrondissez par excès. Ainsi 0.064371 s'arrondit à 0.0644 et 7.2849 s'arrondit à 7.28 avec trois chiffres significatifs.

Le seul cas controversé est celui d'un chiffre supprimé égal à exactement 5, sans rien après. OpenStax Chemistry 2e arrondit de façon que le chiffre conservé soit pair (6.125 devient 6.12, tandis que 6.135 devient 6.14), ce qui évite un léger biais vers le haut sur de nombreux arrondis. Beaucoup d'enseignants arrondissent simplement le 5 par excès. Vérifiez quelle convention votre cours utilise et appliquez-la de façon cohérente ; elle ne concerne que ce seul cas.

Erreurs de chiffres significatifs à repérer dans votre propre travail

La plupart des erreurs de chiffres significatifs viennent d'une poignée de faux pas prévisibles. Avant d'encadrer une réponse, relisez les données et demandez-vous laquelle limite le résultat, et selon quelle règle.

Une habitude simple rend cela routinier : à côté de chaque réponse, notez la donnée limitante et la règle appliquée, décimales ou nombre de chiffres. Si la réponse affiche plus de chiffres que cette donnée n'en justifie, arrondissez-la ; si elle en affiche moins, cherchez un zéro final que la calculatrice a supprimé.

• Laisser un nombre exact limiter la réponse. Un facteur de 1000 mL/L ou un coefficient de 2 ne réduit jamais les chiffres significatifs.
• Appliquer la règle de la multiplication à une somme. Les sommes et les différences sont limitées par les décimales, et non par le nombre de chiffres.
• Arrondir chaque valeur intermédiaire. Conservez des chiffres de garde et n'arrondissez qu'une fois, à la fin.
• Supprimer des zéros finaux qui ont un sens. Une calculatrice affiche 2.5 quand la mesure était 2.50 mL ; remettez le zéro.
• Compter les zéros initiaux. 0.0081 g a deux chiffres significatifs, et non quatre.
• Donner un nombre entier aux zéros ambigus. Écrivez 3.40 × 10² g plutôt que 340 g quand trois chiffres sont significatifs.