ارقام بامعنی در محاسبات شیمی

اعداد اندازه‌گیری‌شده در برابر اعداد دقیق

مقدار اندازه‌گیری‌شده نامطمئن است، چون هر ابزاری محدودیتی دارد. وقتی بورتی را می‌خوانید که با گام‌های 0.1 mL مدرج شده است، خط‌های مطمئن را ثبت می‌کنید و یک رقم دیگر را میان آن‌ها تخمین می‌زنید؛ بنابراین قرائتی مانند 18.36 mL چهار رقم بامعنی دارد: سه رقم مطمئن و یک رقم تخمینی. نوشتن 18.360 mL ادعای دقتی است که بورت نمی‌تواند به آن برسد.

اعداد دقیق هیچ عدم قطعیت اندازه‌گیری ندارند. آن‌ها از شمارش (12 لوله آزمایش در یک جالوله‌ای)، از تعریف‌ها (1 اینچ دقیقاً 2.54 cm است و 1 L دقیقاً 1000 mL) و از ضریب‌ها و زیروندهای فرمول‌ها و معادله‌های شیمیایی می‌آیند. اعداد دقیق را دارای ارقام بامعنی نامحدود بدانید، پس هرگز دقت نتیجه محاسبه‌شده را محدود نمی‌کنند.

شمارش ارقام، از جمله صفرهای دردسرساز

رقم‌های غیرصفر همیشه بامعنی هستند. صفرها بسته به اینکه اطلاعات اندازه‌گیری‌شده را گزارش کنند یا فقط جای ممیز را نشان دهند، بامعنی‌اند یا نیستند. قواعد زیر همه حالت‌هایی را که در شیمی عمومی با آن‌ها روبه‌رو می‌شوید پوشش می‌دهند.

صفرهای انتهایی در یک عدد صحیح بدون ممیز تنها حالت واقعاً مبهم است. جرمی که 1200 g نوشته شده ممکن است با دو، سه یا چهار رقم بامعنی معلوم باشد. نماد علمی این ابهام را برطرف می‌کند: 1.2 × 10³ g دو رقم، 1.20 × 10³ g سه رقم و 1.200 × 10³ g چهار رقم بامعنی دارد.

• صفرهای میان رقم‌های غیرصفر بامعنی هستند: 30.506 g پنج رقم بامعنی دارد.
• صفرهای ابتدایی هرگز بامعنی نیستند؛ آن‌ها فقط جای ممیز را مشخص می‌کنند: 0.004070 m چهار رقم دارد (4، 0، 7، 0).
• صفرهای انتهایی در سمت راست ممیز بامعنی هستند: 2.500 mL چهار رقم دارد.
• صفرهای انتهایی در عدد صحیح بدون ممیز مبهم‌اند؛ برای بیان منظورتان از نماد علمی استفاده کنید.

جمع و تفریق: جای ارقام اعشار را هم‌تراز کنید

وقتی کمیت‌ها با هم جمع یا از هم کم می‌شوند، آنچه اهمیت دارد عدم قطعیت مطلق در آخرین جای اعشار است، نه تعداد ارقام بامعنی. نتیجه را به همان تعداد رقم اعشار گرد کنید که اندازه‌گیریِ دارای کمترین رقم اعشار دارد.

مثال حل‌شده 1. سه بخش از یک جامد را که با ترازوهای مختلف وزن شده‌اند ترکیب می‌کنید: 12.6 g، 0.237 g و 105.42 g. ماشین‌حساب 118.257 g نشان می‌دهد. جرم اول فقط تا رقم دهم معلوم است، پس مجموع هم فقط تا رقم دهم معلوم است: 118.3 g. توجه کنید که پاسخ چهار رقم بامعنی دارد، هرچند یکی از ورودی‌ها فقط سه رقم داشت؛ در جمع، تعداد ارقام نیست که نتیجه را محدود می‌کند.

تفریق می‌تواند ارقام بامعنی را از بین ببرد. فرض کنید فلاسکی حاوی مایع روی ترازوی رومیزی 58.36 g وزن دارد و فلاسک خالی روی ترازوی تحلیلی 57.912 g بوده است. ماشین‌حساب تفاضل را 0.448 g نشان می‌دهد، اما جرم اول فقط تا رقم صدم معلوم است، پس جرم مایع 0.45 g است. از ورودی‌هایی با چهار و پنج رقم، دو رقم بامعنی باقی می‌ماند. وقتی تفاضل کوچکِ دو عدد بزرگ مهم است، هر دو را روی ترازوی دقیق‌تر وزن کنید.

ضرب و تقسیم: ارقام بامعنی را بشمارید

در حاصل‌ضرب و خارج‌قسمت، عدم قطعیت نسبی است که منتقل می‌شود. نتیجه را به همان تعداد رقم بامعنی گرد کنید که ورودیِ دارای کمترین رقم بامعنی دارد.

مثال حل‌شده 2. ابعاد یک بلوک مستطیلی 4.20 cm در 2.15 cm در 1.8 cm است. حجم روی ماشین‌حساب 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ است. ارتفاع فقط دو رقم بامعنی دارد، پس حجم 16 cm³ گزارش می‌شود. تنها راه برای توجیه رقم سوم این است که ارتفاع را دقیق‌تر، مثلاً با کولیس و به صورت 1.80 cm، اندازه بگیرید.

لگاریتم‌ها از قاعده‌ای مرتبط پیروی می‌کنند که در کار با pH دیده می‌شود: تعداد ارقام اعشار لگاریتم برابر است با تعداد ارقام بامعنی مقدار اولیه. غلظت یون هیدروژن 3.4 × 10⁻⁴ mol/L دو رقم بامعنی دارد، پس pH آن با دو رقم اعشار گزارش می‌شود: 3.47.

گرد کردن فقط یک بار، در پایان محاسبه چندمرحله‌ای

در محاسبه‌ای با چند مرحله، در هر مقدار میانی دست‌کم یک یا دو رقم اضافه (رقم‌های محافظ) نگه دارید و فقط پاسخ نهایی را گرد کنید. دنبال کنید که هر مرحله چند رقم بامعنی را توجیه می‌کند، اما تا پایان هیچ رقمی را دور نریزید. گرد کردن در هر مرحله هر بار خطای کوچکی اضافه می‌کند و این خطاها می‌توانند آخرین رقم گزارش‌شده را جابه‌جا کنند.

مثال حل‌شده 3. 1.37 g سدیم کلرید را در آب حل می‌کنید و در یک بالن حجمی دقیقاً به 50.00 mL می‌رسانید. با وزن‌های اتمی استاندارد IUPAC که تا دو رقم اعشار گرد شده‌اند (Na 22.99، Cl 35.45)، جرم مولی NaCl برابر 58.44 g/mol است. مقدار ماده 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol است که گرد نشده نگه داشته می‌شود. حجم 0.05000 L است، پس غلظت 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L می‌شود که چون جرم سه رقم بامعنی دارد، به 0.469 mol/L گرد می‌شود.

اگر مقدار ماده را ابتدا به 0.0234 mol گرد می‌کردید، 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L به دست می‌آمد. تفاوت کوچک است، اما خطایی واقعی است که از حساب‌وکتاب پدید آمده، نه از اندازه‌گیری‌ها، و در زنجیره‌های طولانی‌تر می‌تواند بزرگ شود.

چه وقت رقم نیمه‌راه را رو به بالا یا به رقم زوج گرد کنیم

اگر نخستین رقمی که حذف می‌کنید کمتر از 5 است، رقم باقی‌مانده را دست نزنید؛ اگر بیشتر از 5 است یا 5 است و پس از آن رقم‌های غیرصفر می‌آید، رو به بالا گرد کنید. بنابراین با سه رقم بامعنی، 0.064371 به 0.0644 و 7.2849 به 7.28 گرد می‌شود.

تنها حالت مورد اختلاف، رقم حذف‌شده‌ای است که دقیقاً 5 است و پس از آن چیزی نیست. OpenStax Chemistry 2e طوری گرد می‌کند که رقم باقی‌مانده زوج شود (6.125 به 6.12 و 6.135 به 6.14 تبدیل می‌شود)، که از کج‌شدگی اندک رو به بالا در گردکردن‌های بسیار جلوگیری می‌کند. بسیاری از مدرسان به‌سادگی 5 را رو به بالا گرد می‌کنند. ببینید درس شما از کدام قرارداد پیروی می‌کند و آن را یکسان به کار ببرید؛ این فقط همین یک حالت را تغییر می‌دهد.

خطاهای ارقام بامعنی که باید در کار خودتان دنبالشان بگردید

بیشتر خطاهای ارقام بامعنی از چند لغزش قابل‌پیش‌بینی می‌آید. پیش از آنکه پاسخی را کادر بکشید، ورودی‌ها را دوباره بخوانید و بپرسید کدام یک نتیجه را محدود می‌کند و طبق کدام قاعده.

یک عادت ساده این کار را روتین می‌کند: کنار هر پاسخ، ورودی محدودکننده و قاعده‌ای را که به کار برده‌اید، یعنی ارقام اعشار یا تعداد رقم‌ها، یادداشت کنید. اگر پاسخ رقم‌های بیشتری از آنچه آن ورودی توجیه می‌کند نشان می‌دهد، گردش کنید؛ اگر کمتر نشان می‌دهد، دنبال صفر انتهایی بگردید که ماشین‌حساب حذف کرده است.

• اجازه دادن به یک عدد دقیق برای محدود کردن پاسخ. عامل 1000 mL/L یا ضریب 2 هرگز ارقام بامعنی را کم نمی‌کند.
• استفاده از قاعده ضرب برای یک جمع. جمع‌ها و تفاضل‌ها با ارقام اعشار محدود می‌شوند، نه با تعداد رقم‌ها.
• گرد کردن هر مقدار میانی. رقم‌های محافظ را نگه دارید و فقط یک بار در پایان گرد کنید.
• حذف صفرهای انتهایی باارزش. ماشین‌حساب 2.5 نشان می‌دهد در حالی که اندازه‌گیری 2.50 mL بوده است؛ صفر را دوباره بنویسید.
• شمردن صفرهای ابتدایی. 0.0081 g دو رقم بامعنی دارد، نه چهار.
• گزارش عدد صحیح با صفرهای مبهم. وقتی سه رقم بامعنی است، به‌جای 340 g بنویسید 3.40 × 10² g.