Πυρηνική χημεία: ενέργεια σύνδεσης, τρόποι διάσπασης και χρόνοι ημιζωής

Λόγος νετρονίων προς πρωτόνια και η ζώνη σταθερότητας

Ένας πυρήνας περιέχει πρωτόνια και νετρόνια, που μαζί ονομάζονται νουκλεόνια. Τα πρωτόνια απωθούνται ηλεκτρικά μεταξύ τους και η ισχυρή πυρηνική δύναμη, που δρα μόνο σε πολύ μικρές αποστάσεις, συγκρατεί όλα τα νουκλεόνια μαζί. Το αν ένας πυρήνας είναι σταθερός εξαρτάται κυρίως από την ισορροπία μεταξύ πρωτονίων και νετρονίων.

Αν σχεδιάσετε τα νετρόνια συναρτήσει των πρωτονίων για τα σταθερά νουκλίδια, αυτά βρίσκονται σε μια στενή ζώνη σταθερότητας. Οι ελαφροί σταθεροί πυρήνες έχουν περίπου ίσους αριθμούς από το καθένα: το άζωτο-14 έχει επτά από το καθένα. Οι βαρύτεροι πυρήνες χρειάζονται επιπλέον νετρόνια για να αντισταθμίσουν την αυξανόμενη άπωση των πρωτονίων. Το OpenStax δίνει λόγο n:p 1.15 για τον σίδηρο-56 και 1.52 για τον μόλυβδο-207. Κάθε ισότοπο κάθε στοιχείου μετά το βισμούθιο (Z = 83) είναι ραδιενεργό.

Ένα νουκλίδιο εκτός της ζώνης διασπάται με τρόπο που το μετακινεί προς τη ζώνη. Αυτή η μοναδική ιδέα προβλέπει τους περισσότερους τρόπους διάσπασης, όπως δείχνει ο παρακάτω κατάλογος.

Έλλειμμα μάζας και πυρηνική ενέργεια σύνδεσης

Ένας πυρήνας έχει μικρότερη μάζα από τα χωριστά πρωτόνια και νετρόνια από τα οποία αποτελείται. Η μάζα που λείπει, το έλλειμμα μάζας, αντιστοιχεί στην πυρηνική ενέργεια σύνδεσης μέσω της E = mc². Σε μονάδες ατομικής μάζας, 1 u ισοδυναμεί με 931.494 MeV (τιμή CODATA από το NIST).

Λυμένο παράδειγμα 1. Βρείτε την ενέργεια σύνδεσης του ηλίου-4. Η χρήση ατομικών μαζών διατηρεί τα ηλεκτρόνια ισοσκελισμένα: δύο άτομα υδρογόνου-1 παρέχουν τα δύο πρωτόνια και τα δύο ηλεκτρόνια. Το NIST δίνει 1.007 825 032 u για το ¹H και 4.002 603 254 u για το ⁴He και το CODATA δίνει 1.008 664 916 u για το νετρόνιο. Χωριστά σωματίδια: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. Έλλειμμα μάζας: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. Ενέργεια σύνδεσης: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV, δηλαδή 7.074 MeV ανά νουκλεόνιο. Το OpenStax αναφέρει 28.4 MeV επειδή χρησιμοποιεί μάζες στρογγυλοποιημένες σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία, κάτι που δείχνει πόσο ευαίσθητη είναι στη στρογγυλοποίηση μια μικρή διαφορά μεγάλων αριθμών.

Σε κλίμακα mol, τα 28.30 MeV ανά πυρήνα αντιστοιχούν σε 2.73 × 10¹² J/mol. Η καύση ενός mol μεθανίου ελευθερώνει περίπου 890 kJ (από τις ενθαλπίες σχηματισμού του Παραρτήματος G), άρα ο σχηματισμός ηλίου-4 από τα νουκλεόνιά του ελευθερώνει περίπου τρία εκατομμύρια φορές περισσότερη ενέργεια ανά mol. Η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο είναι μέγιστη κοντά στον μαζικό αριθμό 56· το OpenStax υπολογίζει 8.820 MeV ανά νουκλεόνιο για τον σίδηρο-56. Γι' αυτό τόσο η σύντηξη ελαφρών πυρήνων όσο και η σχάση πολύ βαριών ελευθερώνουν ενέργεια.

Πέντε τρόποι διάσπασης και τι αλλάζει ο καθένας

Κάθε τρόπος διάσπασης μεταβάλλει τον μαζικό αριθμό A και τον ατομικό αριθμό Z με καθορισμένο τρόπο. Αν γνωρίζετε σε ποια πλευρά της ζώνης βρίσκεται ένα νουκλίδιο, ξέρετε ποιοι τρόποι είναι πιθανοί.

• Η διάσπαση άλφα εκπέμπει έναν πυρήνα ηλίου-4, ⁴₂He. Ο A μειώνεται κατά 4 και ο Z κατά 2. Είναι συνηθισμένη για βαριούς πυρήνες μετά το βισμούθιο.
• Η διάσπαση βήτα εκπέμπει ένα ηλεκτρόνιο, ⁰₋₁e, καθώς ένα νετρόνιο μετατρέπεται σε πρωτόνιο. Ο A μένει αμετάβλητος και ο Z αυξάνεται κατά 1. Συμβαίνει σε νουκλίδια πλούσια σε νετρόνια, πάνω από τη ζώνη.
• Η εκπομπή ποζιτρονίου εκπέμπει ένα ποζιτρόνιο, ⁰₊₁e, καθώς ένα πρωτόνιο μετατρέπεται σε νετρόνιο. Ο A μένει αμετάβλητος και ο Z μειώνεται κατά 1. Συμβαίνει σε νουκλίδια πλούσια σε πρωτόνια, κάτω από τη ζώνη.
• Η σύλληψη ηλεκτρονίου έλκει ένα εσωτερικό ηλεκτρόνιο στον πυρήνα, όπου ενώνεται με ένα πρωτόνιο και σχηματίζει ένα νετρόνιο. Ο A μένει αμετάβλητος και ο Z μειώνεται κατά 1, η ίδια μεταβολή με την εκπομπή ποζιτρονίου.
• Η εκπομπή γάμμα απελευθερώνει ένα φωτόνιο υψηλής ενέργειας, ⁰₀γ, από έναν πυρήνα σε διεγερμένη κατάσταση. Οι A και Z μένουν αμετάβλητοι. Συχνά συνοδεύει τους άλλους τρόπους.

Ισοστάθμιση μιας πυρηνικής εξίσωσης με διατήρηση των A και Z

Μια πυρηνική εξίσωση είναι ισοσταθμισμένη όταν οι μαζικοί αριθμοί (εκθέτες) έχουν το ίδιο άθροισμα και στις δύο πλευρές και το ίδιο ισχύει για τους ατομικούς αριθμούς (δείκτες). Ο ατομικός αριθμός του προϊόντος προσδιορίζει τότε το στοιχείο.

Το ουράνιο-238 υφίσταται διάσπαση άλφα: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. Έλεγχος: 238 = 234 + 4 και 92 = 90 + 2. Ο άνθρακας-14 υφίσταται διάσπαση βήτα: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e, όπου 6 = 7 + (−1). Το φθόριο-18, που χρησιμοποιείται στις τομογραφίες PET, υφίσταται εκπομπή ποζιτρονίου: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. Το κάλιο-40 μπορεί να υποστεί σύλληψη ηλεκτρονίου, με το ηλεκτρόνιο γραμμένο ως αντιδρών: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

Για να βρείτε ένα άγνωστο σωματίδιο, αφαιρέστε. Το θόριο-234 διασπάται σε πρωτακτίνιο-234: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. Για το X, A = 234 − 234 = 0 και Z = 90 − 91 = −1, άρα το X είναι ⁰₋₁e και πρόκειται για διάσπαση βήτα. Οι προβλέψεις συμφωνούν με τη ζώνη: ο άνθρακας-14 έχει λόγο n:p 1.33, υψηλό για τόσο ελαφρύ πυρήνα, και η διάσπαση βήτα τον φέρνει στο 1.00 στο άζωτο-14.

Υπολογισμοί χρόνου ημιζωής για διάσπαση πρώτης τάξης

Η ραδιενεργός διάσπαση είναι διεργασία πρώτης τάξης: σε δεδομένο χρόνο διασπάται το ίδιο κλάσμα των πυρήνων που απομένουν, όποια κι αν είναι η αρχική ποσότητα. Ο χρόνος ημιζωής, t½, είναι ο χρόνος που απαιτείται για να διασπαστούν οι μισοί πυρήνες. Είναι ουσιαστικά ανεξάρτητος από τη θερμοκρασία, την πίεση και τη χημική μορφή, κάτι που τον κάνει χρήσιμο για τη χρονολόγηση. Η ποσότητα που απομένει μετά από χρόνο t είναι N = N₀ × (½)^(t/t½). Ισοδύναμα, ln(N/N₀) = −kt με σταθερά διάσπασης k = 0.693/t½.

Λυμένο παράδειγμα 2. Το ιώδιο-131, που χρησιμοποιείται για τη θεραπεία παθήσεων του θυρεοειδούς, έχει t½ = 8.02 ημέρες (Πίνακας 21.2 του OpenStax). Πόσο απομένει από ένα δείγμα 50.0 mg μετά από 30.0 ημέρες; t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 χρόνοι ημιζωής. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. Μια γρήγορη εκτίμηση το επιβεβαιώνει: μετά από 3 χρόνους ημιζωής θα απέμεναν 6.25 mg και μετά από 4 χρόνους ημιζωής 3.13 mg, άρα η απάντηση πρέπει να βρίσκεται ανάμεσά τους.

Λυμένο παράδειγμα 3. Το φθόριο-18 έχει t½ = 110. λεπτά. Σε πόσο χρόνο η ενεργότητά του πέφτει στο 10.0 τοις εκατό της αρχικής τιμής; Η ενεργότητα είναι ανάλογη του αριθμού των πυρήνων, άρα λύστε την (½)^(t/110.) = 0.100. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min, περίπου 6.1 ώρες. Αυτό το σύντομο χρονικό περιθώριο είναι ο λόγος για τον οποίο το φθόριο-18 πρέπει να παράγεται κοντά στο σημείο όπου χρησιμοποιείται.

Λυμένο παράδειγμα: χρονολόγηση ενός ξύλινου αντικειμένου με ραδιενεργό άνθρακα

Οι ζωντανοί οργανισμοί διατηρούν σταθερό λόγο άνθρακα-14 προς άνθρακα-12 ανταλλάσσοντας άνθρακα με το περιβάλλον τους. Μετά τον θάνατο, ο άνθρακας-14 διασπάται με t½ = 5730 έτη (ενότητα 21.3 του OpenStax) και δεν αναπληρώνεται, άρα ο λόγος μειώνεται με προβλέψιμο τρόπο.

Ένα ξύλινο εργαλείο περιέχει το 28.0 τοις εκατό του άνθρακα-14 που βρίσκεται σε ζωντανό ξύλο. Λύστε την 0.280 = (½)^(t/5730 y). Με λογαρίθμιση προκύπτει t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ έτη, δηλαδή περίπου 1.84 χρόνοι ημιζωής. Ελέγξτε την εκτίμηση: μετά από έναν χρόνο ημιζωής απομένει το 50 τοις εκατό και μετά από δύο το 25 τοις εκατό, και το 28.0 τοις εκατό βρίσκεται λίγο πριν από τους δύο.

Το OpenStax αναφέρει ότι η μέθοδος είναι ακριβής έως περίπου 30 000 έτη και δίνει εύλογες χρονολογήσεις έως το πολύ περίπου 50 000 έτη. Πέρα από αυτό, απομένει πολύ λίγος άνθρακας-14 για να μετρηθεί αξιόπιστα. Οι πραγματικές ηλικίες ραδιενεργού άνθρακα διορθώνονται επίσης για τις παλαιότερες μεταβολές του ατμοσφαιρικού άνθρακα-14.

Λάθη στις πυρηνικές εξισώσεις και στους υπολογισμούς διάσπασης

Δύο έλεγχοι εντοπίζουν τα περισσότερα προβλήματα: ισοσταθμίστε χωριστά τα A και Z σε κάθε εξίσωση και εκτιμήστε πόσοι χρόνοι ημιζωής έχουν περάσει πριν χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή.

• Σύγχυση των μεταβολών βήτα και ποζιτρονίου. Η διάσπαση βήτα αυξάνει τον Z κατά 1· η εκπομπή ποζιτρονίου και η σύλληψη ηλεκτρονίου τον μειώνουν κατά 1.
• Ισοστάθμιση των μαζικών αριθμών αλλά όχι των ατομικών αριθμών ή το αντίστροφο.
• Αφαίρεση των μαζών γυμνών πρωτονίων από μια ατομική μάζα χωρίς να ληφθούν υπόψη τα ηλεκτρόνια. Η χρήση ατομικών μαζών υδρογόνου-1 αποφεύγει το πρόβλημα.
• Διαίρεση της αρχικής ποσότητας με τον αριθμό των χρόνων ημιζωής αντί για επαναλαμβανόμενη υποδιπλασίασή της.
• Ανάμειξη μονάδων χρόνου, για παράδειγμα χρόνου ημιζωής σε ημέρες με χρόνο που πέρασε σε ώρες.
• Στρογγυλοποίηση των μαζών πριν από τον υπολογισμό της διαφοράς σε έναν υπολογισμό ελλείμματος μάζας.