Signifikante Stellen bei chemischen Berechnungen

Gemessene Zahlen und exakte Zahlen

Ein gemessener Wert ist unsicher, weil jedes Messgerät eine Grenze hat. Wenn du eine Bürette mit 0.1-mL-Teilung abliest, notierst du die sicheren Striche und schätzt eine weitere Stelle zwischen ihnen. Ein Messwert wie 18.36 mL hat also vier signifikante Stellen: drei sichere und eine geschätzte. Die Angabe 18.360 mL würde eine Genauigkeit behaupten, die die Bürette nicht liefern kann.

Exakte Zahlen tragen keine Messunsicherheit. Sie stammen aus dem Zählen (12 Reagenzgläser in einem Ständer), aus Definitionen (1 Zoll sind genau 2.54 cm, und 1 L sind genau 1000 mL) sowie aus Koeffizienten und Indizes in chemischen Formeln und Gleichungen. Behandle exakte Zahlen so, als hätten sie unbegrenzt viele signifikante Stellen, sodass sie die Genauigkeit eines berechneten Ergebnisses nie begrenzen.

Stellen zählen, auch die schwierigen Nullen

Ziffern ungleich null sind immer signifikant. Nullen sind signifikant oder nicht, je nachdem, ob sie Messinformation wiedergeben oder nur die Lage des Dezimalpunkts anzeigen. Die folgenden Regeln decken jeden Fall ab, der dir in der Allgemeinen Chemie begegnet.

Nullen am Ende einer ganzen Zahl ohne Dezimalpunkt sind der einzige wirklich mehrdeutige Fall. Eine als 1200 g angegebene Masse könnte auf zwei, drei oder vier signifikante Stellen bekannt sein. Die wissenschaftliche Schreibweise beseitigt die Mehrdeutigkeit: 1.2 × 10³ g hat zwei, 1.20 × 10³ g hat drei und 1.200 × 10³ g hat vier.

• Nullen zwischen Ziffern ungleich null sind signifikant: 30.506 g hat fünf.
• Führende Nullen sind nie signifikant; sie legen nur die Lage des Dezimalpunkts fest: 0.004070 m hat vier (4, 0, 7, 0).
• Nullen am Ende rechts vom Dezimalpunkt sind signifikant: 2.500 mL hat vier.
• Nullen am Ende einer ganzen Zahl ohne Dezimalpunkt sind mehrdeutig; verwende die wissenschaftliche Schreibweise, um deine Absicht klarzumachen.

Addieren und Subtrahieren: Dezimalstellen ausrichten

Beim Addieren und Subtrahieren zählt die absolute Unsicherheit in der letzten Dezimalstelle, nicht die Anzahl der signifikanten Stellen. Runde das Ergebnis auf dieselbe Zahl von Dezimalstellen wie die Messung mit den wenigsten Dezimalstellen.

Rechenbeispiel 1. Du vereinigst drei Portionen eines Feststoffs, die auf verschiedenen Waagen gewogen wurden: 12.6 g, 0.237 g und 105.42 g. Der Taschenrechner zeigt 118.257 g. Die erste Masse ist nur auf die Zehntel genau bekannt, also ist es auch die Summe: 118.3 g. Beachte, dass die Antwort vier signifikante Stellen hat, obwohl ein Ausgangswert nur drei hatte; bei der Addition begrenzt nicht die Anzahl der Stellen das Ergebnis.

Eine Subtraktion kann signifikante Stellen vernichten. Angenommen, ein Kolben mit einer Flüssigkeit wiegt auf einer Oberschalenwaage 58.36 g, und der leere Kolben wog auf einer Analysenwaage 57.912 g. Die Differenz beträgt auf dem Taschenrechner 0.448 g, aber die erste Masse ist nur auf die Hundertstel genau bekannt, also beträgt die Masse der Flüssigkeit 0.45 g. Aus Ausgangswerten mit vier und fünf Stellen bleiben zwei signifikante Stellen übrig. Kommt es auf eine kleine Differenz zweier großer Zahlen an, wiege beide auf der genaueren Waage.

Multiplizieren und Dividieren: signifikante Stellen zählen

Bei Produkten und Quotienten pflanzt sich die relative Unsicherheit fort. Runde das Ergebnis auf dieselbe Zahl signifikanter Stellen wie der Ausgangswert mit den wenigsten signifikanten Stellen.

Rechenbeispiel 2. Ein quaderförmiger Block misst 4.20 cm mal 2.15 cm mal 1.8 cm. Das Volumen beträgt 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ auf dem Taschenrechner. Die Höhe hat nur zwei signifikante Stellen, also wird das Volumen als 16 cm³ angegeben. Nur eine genauere Messung der Höhe, etwa 1.80 cm mit einer Schieblehre, würde eine dritte Stelle rechtfertigen.

Für Logarithmen gilt eine verwandte Regel, die bei pH-Werten auftaucht: Die Zahl der Dezimalstellen des Logarithmus entspricht der Zahl der signifikanten Stellen des ursprünglichen Werts. Eine Wasserstoffionenkonzentration von 3.4 × 10⁻⁴ mol/L hat zwei signifikante Stellen, also wird ihr pH-Wert mit zwei Dezimalstellen angegeben: 3.47.

Einmal runden, am Ende einer mehrstufigen Rechnung

Behalte bei einer Rechnung mit mehreren Schritten in jedem Zwischenwert mindestens ein bis zwei zusätzliche Stellen (Schutzstellen) und runde nur das Endergebnis. Verfolge, wie viele signifikante Stellen jeder Schritt rechtfertigt, aber verwirf keine Stellen bis zum Schluss. Wer in jedem Schritt rundet, fügt jedes Mal einen kleinen Fehler hinzu, und diese Fehler können die zuletzt angegebene Stelle verschieben.

Rechenbeispiel 3. Du löst 1.37 g Natriumchlorid in Wasser und füllst in einem Messkolben auf genau 50.00 mL auf. Mit den IUPAC-Standard-Atomgewichten, auf zwei Dezimalstellen gerundet (Na 22.99, Cl 35.45), beträgt die molare Masse von NaCl 58.44 g/mol. Die Stoffmenge ist 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, ungerundet beibehalten. Das Volumen beträgt 0.05000 L, die Konzentration also 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L. Das wird auf 0.469 mol/L gerundet, weil die Masse drei signifikante Stellen hat.

Hättest du die Stoffmenge zuerst auf 0.0234 mol gerundet, erhieltest du 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. Der Unterschied ist klein, aber es ist ein echter Fehler, der durch die Rechnung und nicht durch die Messungen entsteht, und in längeren Rechenketten kann er anwachsen.

Wann man eine genau mittlere Ziffer aufrundet oder zur geraden Ziffer rundet

Ist die erste weggelassene Ziffer kleiner als 5, bleibt die letzte beibehaltene Ziffer unverändert; ist sie größer als 5 oder eine 5, auf die weitere Ziffern ungleich null folgen, wird aufgerundet. So wird 0.064371 zu 0.0644 und 7.2849 zu 7.28 bei drei signifikanten Stellen.

Der einzige strittige Fall ist eine weggelassene Ziffer, die genau 5 ist und der nichts mehr folgt. OpenStax Chemistry 2e rundet so, dass die beibehaltene Ziffer gerade ist (6.125 wird zu 6.12, während 6.135 zu 6.14 wird); das vermeidet bei vielen Rundungen eine leichte Verzerrung nach oben. Viele Lehrkräfte runden eine 5 einfach auf. Prüfe, welche Konvention dein Kurs verwendet, und wende sie konsequent an; sie betrifft nur diesen einen Fall.

Fehler bei signifikanten Stellen, auf die du in deiner eigenen Arbeit achten solltest

Die meisten Fehler bei signifikanten Stellen gehen auf eine Handvoll vorhersehbarer Ausrutscher zurück. Lies, bevor du ein Ergebnis einrahmst, die Ausgangswerte noch einmal und frage dich, welcher von ihnen das Ergebnis begrenzt und nach welcher Regel.

Eine kleine Gewohnheit macht das zur Routine: Notiere neben jedem Ergebnis den begrenzenden Ausgangswert und die angewandte Regel, also Dezimalstellen oder Stellenzahl. Zeigt das Ergebnis mehr Stellen, als dieser Ausgangswert rechtfertigt, runde es; zeigt es weniger, suche nach einer Null am Ende, die der Taschenrechner weggelassen hat.

• Eine exakte Zahl das Ergebnis begrenzen lassen. Ein Faktor von 1000 mL/L oder ein Koeffizient von 2 verringert die signifikanten Stellen nie.
• Die Multiplikationsregel auf eine Summe anwenden. Summen und Differenzen werden durch Dezimalstellen begrenzt, nicht durch die Stellenzahl.
• Jeden Zwischenwert runden. Behalte Schutzstellen und runde einmal am Ende.
• Aussagekräftige Nullen am Ende weglassen. Ein Taschenrechner zeigt 2.5, obwohl die Messung 2.50 mL war; schreibe die Null wieder dazu.
• Führende Nullen mitzählen. 0.0081 g hat zwei signifikante Stellen, nicht vier.
• Eine ganze Zahl mit mehrdeutigen Nullen angeben. Schreibe 3.40 × 10² g statt 340 g, wenn drei Stellen aussagekräftig sind.