Kvantetal og orbitaler: regler, optællinger og former

Elektroner som bølger: de Broglie-bølgelængden

I 1924 foreslog de Broglie, at enhver partikel i bevægelse har en bølgelængde λ = h/(mv), hvor h er Plancks konstant, m massen og v hastigheden. For hverdagsgenstande er bølgelængden alt for lille til at bemærke. En baseball på 0.145 kg med 40.0 m/s har λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. For et elektron, med en masse på 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), er bølgelængden sammenlignelig med et atoms størrelse.

Gennemregnet eksempel 1. Et elektron, der bevæger sig med 2.188 × 10⁶ m/s, har λ = h/(mv). Med CODATA-værdierne h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s og m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg er λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, eller 0.3324 nm. Denne hastighed er den, Bohrs model tildeler elektronet i hydrogens laveste bane, hvis radius er Bohr-radien, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Banens omkreds er 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, så én elektronbølgelængde passer rundt om den, med en overensstemmelse bedre end 0.02%. Kvantiserede energiniveauer er det, man får, når en elektronbølge skal passe ind i sit rum uden at udslukke sig selv, ligesom en guitarstreng kun kan svinge med bestemte frekvenser.

Usikkerhed og enden på faste baner

Heisenbergs ubestemthedsrelation sætter en grænse for, hvor godt position og impuls kan kendes samtidig: Δx·Δp ≥ ħ/2, hvor ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Gennemregnet eksempel 2. Indespær et elektron i et område på 1.0 × 10⁻¹⁰ m, omtrent et atoms størrelse. Så er Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, og Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Usikkerheden på hastigheden er en betydelig brøkdel af selve hastigheden, så en bestemt bane, som en planets, er meningsløs for et elektron i et atom.

Kvantemekanikken erstatter banen med en bølgefunktion, ψ. Dens kvadrat, ψ², er sandsynlighedstætheden: ganget med rumfanget af et lille område giver den sandsynligheden for at finde elektronet der. En orbital er en bølgefunktion for ét elektron, og de velkendte billeder af orbitaler er flader, der omslutter det meste af denne sandsynlighed, ofte 90%.

Tilladte værdier af n, l, mₗ og mₛ

Løsningen af bølgeligningen for hydrogenatomet giver tre kvantetal, hvor hvert er begrænset af det foregående. Et fjerde beskriver elektronets spin. Begrænsningerne er hele nøglen.

• Hovedkvantetallet n = 1, 2, 3, …. Det fastlægger skallen og, i hydrogen, energien. Større n betyder en større orbital med højere energi.
• Impulsmomentkvantetallet l = 0, 1, …, n − 1. Det fastlægger underskallen og formen: l = 0, 1, 2, 3 er s, p, d, f.
• Det magnetiske kvantetal mₗ = −l, …, 0, …, +l, hvilket giver 2l + 1 værdier. Det fastlægger orbitalens orientering i rummet.
• Spinkvantetallet mₛ = +½ eller −½. Det afhænger ikke af de tre andre.

Gennemregnet eksempel: afprøvning af seks sæt kvantetal

For at afprøve et sæt (n, l, mₗ, mₛ) kontrollerer du hvert tal mod det foregående, i rækkefølge. Stop ved den første overtrædelse.

(3, 3, 0, +½) er ikke tilladt: l må højst være n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) er ikke tilladt: med l = 2 løber mₗ kun fra −2 til +2. (3, 2, 1, 0) er ikke tilladt: mₛ skal være +½ eller −½, aldrig 0. (2, 1, −1, −½) er tilladt og beskriver et elektron i en 2p-orbital. (5, 0, 0, +½) er tilladt og beskriver et 5s-elektron. (4, 3, −3, +½) er tilladt og beskriver et 4f-elektron.

For at navngive orbitalen ud fra et tilladt sæt skriver du n efterfulgt af bogstavet for l. Værdien af mₗ udpeger én orbital i underskallen, men ændrer ikke dens navn i denne notation.

Optælling af orbitaler og elektroner under en betingelse

Tællespørgsmål bliver rutine, hvis du opstiller de tilladte l-værdier, derefter mₗ-værdierne for hver, og først derefter anvender betingelsen. Hver orbital, altså hver tilladt kombination (n, l, mₗ), rummer to elektroner, ét med hvert spin.

En skal med hovedkvantetallet n indeholder n² orbitaler og 2n² elektroner. For n = 4 kan l være 0, 1, 2 eller 3, hvilket giver 1 + 3 + 5 + 7 = 16 orbitaler og 32 elektroner.

Gennemregnet eksempel 3. Hvor mange elektroner i et atom kan have n = 3 og mₗ = +1? l-værdierne for n = 3 er 0, 1 og 2. mₗ = +1 er kun muligt, når l ≥ 1, så der er én sådan orbital i 3p og én i 3d: to orbitaler, fire elektroner. Hvor mange kan have n = 5 og mₛ = +½? Skal 5 har 5² = 25 orbitaler, hver med ét +½-elektron, altså 25. Hvor mange kan have n = 4 og l = 2? Det er 4d-underskallen: 5 orbitaler og 10 elektroner.

Orbitalers former og optælling af knudeflader

En knudeflade er et sted, hvor ψ, og dermed sandsynligheden for at finde elektronet, er nul. En orbital har i alt n − 1 knudeflader. Af disse er l vinkelknudeflader, planer eller kegler gennem kernen, og de resterende n − l − 1 er radiale knudeflader, kugleskaller i faste afstande. OpenStax Chemistry 2e (afsnit 6.3) angiver reglen for radiale knudeflader.

s-orbitaler (l = 0) er kugleformede uden vinkelknudeflader, så en 2s-orbital har én radial knudeflade, og en 3s-orbital har to. p-orbitaler (l = 1) har to lapper på hver sin side af kernen med ét knudeplan imellem dem; de tre betegnes pₓ, p_y og p_z efter den akse, de peger langs. d-orbitaler (l = 2) har to vinkelknudeflader. Fire af dem har fire lapper; den femte, d_z², har to lapper langs z-aksen og en ring omkring midten.

Gennemregnet eksempel 4. En 3p-orbital har 3 − 1 − 1 = 1 radial knudeflade og 1 vinkelknudeflade. En 4d-orbital har 1 radial knudeflade og 2 vinkelknudeflader, i alt 3. En 3d-orbital har ingen radiale knudeflader, og en 6s-orbital har 5.

Når orbitaler i samme skal har forskellig energi

I hydrogen afhænger energien kun af n, så 3s, 3p og 3d har samme energi. I atomer med mere end ét elektron afskærmer de andre elektroner kernen ujævnt. Et s-elektron trænger tættere ind mod kernen end et p- eller d-elektron i samme skal, mærker mere af kerneladningen og ligger lavere i energi. Resultatet er opsplitningen s < p < d < f inden for en skal, som fastlægger den opfyldningsrækkefølge, der er dækket i vejledningen om elektronkonfigurationer.

Orbitaler i samme underskal, såsom de tre 2p-orbitaler, har fortsat samme energi i et isoleret atom. De kaldes degenererede. Omgivende atomer i et molekyle eller en krystal kan ophæve denne degeneration.

Fejl med kvantetal, du skal holde øje med

Næsten alle fejl skyldes, at man springer opstillingstrinnet over. Er du i tvivl, så skriv alle tilladte værdier op, før du tæller.

• At lade l være lig med n. Den største tilladte l er n − 1, så der findes ingen 1p- eller 2d-orbital.
• At tælle mₗ-værdier fra 0 til l i stedet for fra −l til +l, hvilket giver for få orbitaler.
• At tælle orbitaler, når spørgsmålet beder om elektroner, eller omvendt. Hver orbital rummer to elektroner.
• At give mₛ værdien 0 eller 1. Spin er kun +½ eller −½.
• At bruge n − l − 1 som det samlede antal knudeflader. Den formel tæller kun radiale knudeflader; det samlede antal er n − 1.
• At behandle 90%-grænsefladen som en skarp kant. Elektrontætheden aftager jævnt og har ingen skarp grænse.