Lys og atomspektre: fotoner, energiniveauer og hydrogens linjer

Bølgelængde, frekvens og lysets hastighed

Lys er en elektromagnetisk bølge. Dens bølgelængde λ er afstanden mellem bølgetoppe, og dens frekvens ν er antallet af bølgetoppe, der passerer et punkt hvert sekund, i hertz (s⁻¹). I vakuum bevæger alle bølgelængder sig med samme hastighed, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, en eksakt defineret værdi, som NIST angiver. De tre størrelser er forbundet ved c = λν, så bølgelængde og frekvens er omvendt proportionale: halveres den ene, fordobles den anden.

Synligt lys går fra omkring 400 nm (violet) til 700 nm (rødt). Ultraviolet lys har kortere bølgelængder og højere frekvenser; infrarødt lys har længere bølgelængder og lavere frekvenser. Omregn nanometer til meter, før du bruger c = λν: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Fotonenergi og den fotoelektriske effekt

Lys absorberes og udsendes i portioner, der kaldes fotoner. Hver foton har energien E = hν = hc/λ, hvor h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s er Plancks konstant, som også er eksakt. Kortere bølgelængde betyder mere energi pr. foton. Kraftigere lys af samme farve betyder flere fotoner, ikke mere energirige fotoner.

Gennemregnet eksempel 1. Det gule lys fra en natriumlampe ligger nær 589.0 nm. Dets frekvens er ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Én foton har E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Gang med Avogadros tal, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, for at få en mol fotoner: 2.031 × 10⁵ J, eller 203.1 kJ/mol. Det svarer til energien i en svag kemisk binding, og derfor kan synligt og ultraviolet lys drive fotokemiske reaktioner.

Den fotoelektriske effekt viser fotonbilledet direkte. Lys slår kun elektroner løs fra et metal, hvis hver foton har mindst metallets løsrivelsesarbejde, Φ. Al overskydende energi bliver til elektronens kinetiske energi: KEmax = hν − Φ.

Gennemregnet eksempel 2. Antag, at en metaloverflade har en tærskelbølgelængde på 540 nm (en given værdi i denne øvelse). Dens løsrivelsesarbejde er Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Violet lys ved 405 nm har fotoner på 4.905 × 10⁻¹⁹ J, så KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Afrundet til tre betydende cifre er det 1.23 × 10⁻¹⁹ J, eller 0.765 eV. Rødt lys ved 650 nm slår, uanset hvor kraftigt det er, ingen elektroner løs, fordi hver foton kun har 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Hvorfor atomer giver linjespektre i stedet for regnbuer

Et varmt fast stof, såsom en glødetråd i en lampe, udsender et kontinuert spektrum. En varm gas af atomer ved lavt tryk udsender kun bestemte bølgelængder. Elektroner i et atom kan kun befinde sig på bestemte energiniveauer. Når et elektron falder fra et højere niveau til et lavere, udsender atomet én foton, hvis energi er lig med afstanden: ΔE = hν. Fordi kun bestemte afstande findes, optræder kun bestemte bølgelængder.

Absorption er det omvendte. Send hvidt lys gennem en kold gas, og atomerne fjerner præcis de bølgelængder, der svarer til deres spring opad, så der bliver mørke linjer i et ellers kontinuert spektrum. Et spring mellem de samme to niveauer har samme bølgelængde, uanset om atomet absorberer eller udsender. Hvert grundstofs sæt af afstande er unikt, så spektre identificerer grundstoffer i flammer, lamper og fjerne stjerner.

Hydrogens energiniveauer og Rydberg-ligningen

For et atom med ét elektron følger energiniveauerne en simpel formel. OpenStax Chemistry 2e (afsnit 6.2) angiver Eₙ = −kZ²/n², med k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z kerneladningen og n = 1, 2, 3, …. Energien er negativ, fordi det bundne elektron ligger lavere i energi end et frit elektron i hvile, hvis energi sættes til nul. Når n vokser, rykker niveauerne tættere sammen mod nul.

Den foton, der udsendes, når elektronet falder fra nᵢ til et lavere n_f, har energien ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Division med hc giver Rydberg-ligningen for hydrogen, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), med R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Gennemregnet eksempel 3. Find bølgelængden af hydrogens linje for n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, hvor der beholdes ét ekstra ciffer indtil slutningen. Med hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m er λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, eller 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data angiver denne røde linje til 656.3 nm i luft. Forskellen i sidste ciffer skyldes afrundingen af k og lysets lidt lavere hastighed i luft.

Gennemregnet eksempel 4. Hydrogens ioniseringsenergi er den energi, der skal til for at flytte elektronet fra n = 1 til n = ∞, hvilket er k selv: 2.179 × 10⁻¹⁸ J pr. atom. Pr. mol er det (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, eller 1312 kJ/mol. Værdien fra NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, svarer til 1312.0 kJ/mol.

Lyman-, Balmer- og Paschen-serien

Linjer, der ender på det samme lavere niveau, danner en serie. De rykker alle tættere sammen, når nᵢ stiger, og nærmer sig en seriegrænse, hvor elektronet starter som frit.

• Lyman-serien, der ender ved n = 1: ultraviolet. Linjen 2 → 1 ligger ved 121.6 nm, og seriegrænsen ligger nær 91.2 nm.
• Balmer-serien, der ender ved n = 2: hydrogens fire synlige linjer, ved omkring 656, 486, 434 og 410 nm for nᵢ = 3, 4, 5 og 6. Seriegrænsen ligger nær 365 nm, i det ultraviolette område.
• Paschen-serien, der ender ved n = 3: infrarød. Linjen 4 → 3 ligger nær 1875 nm.

Fejl ved spektre og hurtige kontroller

De fleste fejl i disse opgaver er enhedsfejl eller fortegnsfejl. To kontroller fanger de fleste af dem: en synlig foton bør have omkring 2.8 til 5.0 × 10⁻¹⁹ J, og en større energiafstand skal give en kortere bølgelængde.

• At lade bølgelængden stå i nanometer, når man bruger c = λν eller E = hc/λ. Omregn først til meter.
• At bruge Rydberg-ligningen med nᵢ og n_f byttet om, hvilket giver en negativ bølgelængde.
• At forvente, at alle hydrogens linjer er synlige. Hele Lyman-serien er ultraviolet, og Paschen-serien er infrarød.
• At tro, at kraftigere lys slår hurtigere fotoelektroner løs. Intensiteten ændrer antallet af elektroner, ikke deres maksimale energi.
• At anvende Eₙ = −kZ²/n² på helium eller ethvert andet atom med mere end ét elektron. Den gælder kun for arter med ét elektron, såsom H, He⁺ og Li²⁺.
• At glemme Avogadros tal, når en energi pr. foton omregnes til kJ/mol, eller at bruge det to gange.

Hvad Bohrs model forklarer, og hvor den slår til

Bohrs model af hydrogenatomet, med elektronet i cirkulære baner med fast energi, gengiver hydrogens linjer og Z²-skaleringen for ioner som He⁺. For He⁺ er hver overgangsenergi i hydrogen fire gange større, så dens linje 2 → 1 ligger nær 30.4 nm.

Modellen slår fejl for atomer med to eller flere elektroner, fordi frastødningen mellem elektronerne ændrer niveauerne. Den forestiller sig også elektroner på bestemte baner, hvilket kvantemekanikken udelukker. Den moderne teori beholder Bohrs energiniveauer for hydrogen, men erstatter baner med orbitaler, som beskriver, hvor et elektron sandsynligvis befinder sig.