Jaderná chemie: vazebná energie, typy rozpadu a poločasy rozpadu

Poměr neutronů a protonů a pás stability

Jádro obsahuje protony a neutrony, souhrnně nazývané nukleony. Protony se navzájem elektricky odpuzují a silná jaderná síla, která působí jen na velmi krátké vzdálenosti, drží všechny nukleony pohromadě. Zda je jádro stabilní, závisí hlavně na poměru protonů a neutronů.

Vynesete-li pro stabilní nuklidy počet neutronů proti počtu protonů, leží v úzkém pásu stability. Lehká stabilní jádra mají obou částic zhruba stejně: dusík-14 má od každé sedm. Těžší jádra potřebují neutrony navíc, aby vyvážila rostoucí odpuzování protonů. OpenStax uvádí poměr n:p 1.15 pro železo-56 a 1.52 pro olovo-207. Každý izotop každého prvku za bismutem (Z = 83) je radioaktivní.

Nuklid mimo pás se rozpadá tak, aby se k pásu přiblížil. Tato jediná myšlenka předpovídá většinu typů rozpadu, jak ukazuje seznam typů rozpadu níže.

Hmotnostní úbytek a jaderná vazebná energie

Jádro má menší hmotnost než samostatné protony a neutrony, z nichž se skládá. Chybějící hmotnost, hmotnostní úbytek, odpovídá jaderné vazebné energii podle vztahu E = mc². V atomových hmotnostních jednotkách odpovídá 1 u energii 931.494 MeV (hodnota CODATA od NIST).

Řešený příklad 1. Najděte vazebnou energii helia-4. Použití atomových hmotností udržuje elektrony v rovnováze: dva atomy vodíku-1 dodají dva protony a dva elektrony. NIST uvádí 1.007 825 032 u pro ¹H a 4.002 603 254 u pro ⁴He a CODATA dává 1.008 664 916 u pro neutron. Samostatné částice: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. Hmotnostní úbytek: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. Vazebná energie: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV neboli 7.074 MeV na nukleon. OpenStax uvádí 28.4 MeV, protože používá hmotnosti zaokrouhlené na čtyři desetinná místa, což ukazuje, jak citlivý je malý rozdíl mezi velkými čísly na zaokrouhlení.

Přepočteno na mol odpovídá 28.30 MeV na jádro 2.73 × 10¹² J/mol. Spálení molu methanu uvolní asi 890 kJ (ze slučovacích entalpií v Příloze G), takže vznik helia-4 z jeho nukleonů uvolní na mol zhruba třímilionkrát více energie. Vazebná energie na nukleon je největší blízko nukleonového čísla 56; OpenStax počítá pro železo-56 8.820 MeV na nukleon. Proto uvolňuje energii jak slučování lehkých jader, tak štěpení velmi těžkých.

Pět typů rozpadu a co každý z nich mění

Každý typ rozpadu mění nukleonové číslo A a protonové číslo Z pevně daným způsobem. Víte-li, na které straně pásu nuklid leží, víte, které typy jsou pravděpodobné.

• Rozpad alfa vyzařuje jádro helia-4, ⁴₂He. A klesne o 4 a Z o 2. Je běžný u těžkých jader za bismutem.
• Rozpad beta vyzařuje elektron, ⁰₋₁e, když se neutron mění na proton. A se nemění a Z vzroste o 1. Nastává u nuklidů bohatých na neutrony nad pásem.
• Emise pozitronu vyzařuje pozitron, ⁰₊₁e, když se proton mění na neutron. A se nemění a Z klesne o 1. Nastává u nuklidů bohatých na protony pod pásem.
• Elektronový záchyt vtáhne vnitřní elektron do jádra, kde se spojí s protonem a vznikne neutron. A se nemění a Z klesne o 1, stejně jako při emisi pozitronu.
• Emise gama uvolní vysokoenergetický foton, ⁰₀γ, z jádra v excitovaném stavu. A ani Z se nemění. Často doprovází ostatní typy rozpadu.

Vyčíslení jaderné rovnice zachováním A a Z

Jaderná rovnice je vyčíslená, když nukleonová čísla (horní indexy) dávají na obou stranách stejný součet a protonová čísla (dolní indexy) rovněž. Protonové číslo produktu pak určuje prvek.

Uran-238 podléhá rozpadu alfa: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. Kontrola: 238 = 234 + 4 a 92 = 90 + 2. Uhlík-14 podléhá rozpadu beta: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e, kde 6 = 7 + (−1). Fluor-18, používaný při vyšetřeních PET, podléhá emisi pozitronu: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. Draslík-40 může podléhat elektronovému záchytu, přičemž elektron se píše jako reaktant: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

Neznámou částici najdete odečtením. Thorium-234 se rozpadá na protaktinium-234: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. Pro X je A = 234 − 234 = 0 a Z = 90 − 91 = −1, takže X je ⁰₋₁e a jde o rozpad beta. Předpovědi odpovídají pásu: uhlík-14 má poměr n:p 1.33, na tak lehké jádro vysoký, a rozpad beta ho v dusíku-14 sníží na 1.00.

Výpočty s poločasem rozpadu pro rozpad prvního řádu

Radioaktivní rozpad je děj prvního řádu: za daný čas se rozpadne stejný podíl zbývajících jader bez ohledu na výchozí množství. Poločas rozpadu t½ je doba, za kterou se rozpadne polovina jader. Na teplotě, tlaku a chemické formě prakticky nezávisí, a právě proto je užitečný pro datování. Množství zbývající po čase t je N = N₀ × (½)^(t/t½). Ekvivalentně ln(N/N₀) = −kt s rozpadovou konstantou k = 0.693/t½.

Řešený příklad 2. Jod-131, používaný k léčbě onemocnění štítné žlázy, má t½ = 8.02 dne (OpenStax, tabulka 21.2). Kolik ze vzorku o hmotnosti 50.0 mg zbude po 30.0 dnech? t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 poločasu. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. Rychlý odhad to potvrzuje: po 3 poločasech by zbylo 6.25 mg a po 4 poločasech 3.13 mg, takže odpověď musí ležet mezi nimi.

Řešený příklad 3. Fluor-18 má t½ = 110. minut. Za jak dlouho klesne jeho aktivita na 10.0 procenta výchozí hodnoty? Aktivita je úměrná počtu jader, takže řešte (½)^(t/110.) = 0.100. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min, asi 6.1 hodiny. Toto krátké okno je důvodem, proč se fluor-18 musí vyrábět blízko místa použití.

Řešený příklad: radiouhlíkové datování dřevěného artefaktu

Živé organismy udržují výměnou uhlíku s prostředím stálý poměr uhlíku-14 k uhlíku-12. Po smrti se uhlík-14 rozpadá s t½ = 5730 let (OpenStax, oddíl 21.3) a není doplňován, takže poměr klesá předvídatelným způsobem.

Dřevěný nástroj obsahuje 28.0 procenta uhlíku-14, který se nachází v živém dřevě. Řešte 0.280 = (½)^(t/5730 y). Logaritmováním dostaneme t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ let, tedy asi 1.84 poločasu. Ověřte odhad: po jednom poločasu zbývá 50 procent a po dvou 25 procent a 28.0 procenta leží těsně před dvěma poločasy.

OpenStax uvádí, že metoda je přesná asi do 30 000 let a rozumná data dává nejvýše asi do 50 000 let. Za touto hranicí zbývá příliš málo uhlíku-14 na spolehlivé měření. Skutečná radiouhlíková stáří se navíc korigují na dřívější změny obsahu uhlíku-14 v atmosféře.

Chyby v jaderných rovnicích a výpočtech rozpadu

Dvě kontroly zachytí většinu problémů: v každé rovnici vyčíslete A a Z zvlášť a před použitím kalkulačky odhadněte, kolik poločasů uplynulo.

• Záměna změn při rozpadu beta a emisi pozitronu. Rozpad beta zvyšuje Z o 1; emise pozitronu a elektronový záchyt ho o 1 snižují.
• Vyčíslení nukleonových čísel, ale ne protonových, nebo naopak.
• Odečítání hmotností holých protonů od atomové hmotnosti bez započtení elektronů. Použití atomových hmotností vodíku-1 tento problém odstraní.
• Dělení výchozího množství počtem poločasů místo jeho opakovaného půlení.
• Směšování časových jednotek, například poločasu ve dnech s uplynulým časem v hodinách.
• Zaokrouhlení hmotností před výpočtem rozdílu při výpočtu hmotnostního úbytku.