রসায়নের হিসাবে সার্থক অঙ্ক

মাপা সংখ্যা বনাম সুনির্দিষ্ট সংখ্যা

মাপা মান অনিশ্চিত, কারণ প্রতিটি যন্ত্রেরই একটি সীমা আছে। 0.1 mL ধাপে দাগ কাটা বুরেট পড়ার সময় আপনি নিশ্চিত দাগগুলো লেখেন, তারপর দাগের মাঝামাঝি আরও একটি অঙ্ক অনুমান করেন। তাই 18.36 mL পাঠে চারটি সার্থক অঙ্ক থাকে: তিনটি নিশ্চিত অঙ্ক এবং একটি অনুমানকৃত অঙ্ক। 18.360 mL লিখলে বুরেট যে সূক্ষ্মতা দিতে পারে না, তা দাবি করা হয়ে যায়।

সুনির্দিষ্ট সংখ্যায় পরিমাপের কোনো অনিশ্চয়তা নেই। এগুলো আসে গণনা থেকে (র‍্যাকে 12টি টেস্ট টিউব), সংজ্ঞা থেকে (1 ইঞ্চি ঠিক 2.54 cm এবং 1 L ঠিক 1000 mL) এবং রাসায়নিক সংকেত ও সমীকরণের সহগ ও সাবস্ক্রিপ্ট থেকে। সুনির্দিষ্ট সংখ্যাকে অসীম সংখ্যক সার্থক অঙ্কসম্পন্ন ধরুন, ফলে এগুলো গণনা করা ফলাফলের সূক্ষ্মতাকে কখনও সীমিত করে না।

অঙ্ক গোনা, ঝামেলাপূর্ণ শূন্যসহ

অশূন্য অঙ্ক সবসময়ই সার্থক। শূন্য সার্থক কি না, তা নির্ভর করে সেটি পরিমাপ-তথ্য জানায় নাকি কেবল দশমিক বিন্দুর অবস্থান বোঝায়। নিচের নিয়মগুলো সাধারণ রসায়নে আপনার সামনে আসবে এমন সব ক্ষেত্রকে ধরে।

দশমিক বিন্দুবিহীন পূর্ণসংখ্যার শেষের শূন্যগুলোই একমাত্র সত্যিকারের অস্পষ্ট ক্ষেত্র। 1200 g লেখা কোনো ভর দুই, তিন বা চারটি সার্থক অঙ্ক পর্যন্ত জানা হতে পারে। বৈজ্ঞানিক সংকেত এই অস্পষ্টতা দূর করে: 1.2 × 10³ g-তে দুটি, 1.20 × 10³ g-তে তিনটি এবং 1.200 × 10³ g-তে চারটি সার্থক অঙ্ক আছে।

• অশূন্য অঙ্কের মাঝের শূন্য সার্থক: 30.506 g-তে পাঁচটি সার্থক অঙ্ক আছে।
• শুরুর শূন্য কখনও সার্থক নয়; এগুলো কেবল দশমিক বিন্দুর অবস্থান ঠিক করে: 0.004070 m-এ চারটি সার্থক অঙ্ক আছে (4, 0, 7, 0)।
• দশমিক বিন্দুর ডানদিকের শেষের শূন্য সার্থক: 2.500 mL-এ চারটি সার্থক অঙ্ক আছে।
• দশমিক বিন্দুবিহীন পূর্ণসংখ্যার শেষের শূন্য অস্পষ্ট; আপনার উদ্দেশ্য বোঝাতে বৈজ্ঞানিক সংকেত ব্যবহার করুন।

যোগ ও বিয়োগ: দশমিক স্থান মিলিয়ে নিন

রাশি যোগ বা বিয়োগ করার সময় যে অনিশ্চয়তা গুরুত্বপূর্ণ, তা হলো শেষ দশমিক স্থানের পরম অনিশ্চয়তা, সার্থক অঙ্কের সংখ্যা নয়। সবচেয়ে কম দশমিক স্থানবিশিষ্ট পরিমাপের সমান দশমিক স্থান রেখে ফলাফল রাউন্ড করুন।

সমাধান করা উদাহরণ 1। আপনি ভিন্ন ভিন্ন ব্যালেন্সে মাপা একটি কঠিন পদার্থের তিনটি অংশ একত্র করলেন: 12.6 g, 0.237 g এবং 105.42 g। ক্যালকুলেটরে দেখাচ্ছে 118.257 g। প্রথম ভরটি কেবল দশমাংশ স্থান পর্যন্ত জানা, তাই যোগফলও কেবল দশমাংশ স্থান পর্যন্ত জানা: 118.3 g। লক্ষ করুন, একটি উপাত্তে মাত্র তিনটি সার্থক অঙ্ক থাকলেও উত্তরে চারটি সার্থক অঙ্ক আছে; যোগের ক্ষেত্রে অঙ্কের সংখ্যা ফলাফলকে সীমিত করে না।

বিয়োগ সার্থক অঙ্ক নষ্ট করে দিতে পারে। ধরুন, একটি তরলভরা ফ্লাস্কের ভর টপ-লোডিং ব্যালেন্সে 58.36 g এবং খালি ফ্লাস্কের ভর বিশ্লেষণী ব্যালেন্সে 57.912 g। ক্যালকুলেটরে পার্থক্য 0.448 g, কিন্তু প্রথম ভরটি কেবল শতাংশ স্থান পর্যন্ত জানা, তাই তরলের ভর 0.45 g। চার ও পাঁচ অঙ্কের উপাত্ত থেকে মাত্র দুটি সার্থক অঙ্ক টিকে থাকল। দুটি বড় সংখ্যার ছোট পার্থক্য যখন গুরুত্বপূর্ণ, তখন দুটিই বেশি সূক্ষ্ম ব্যালেন্সে মাপুন।

গুণ ও ভাগ: সার্থক অঙ্ক গুনুন

গুণফল ও ভাগফলের ক্ষেত্রে আপেক্ষিক অনিশ্চয়তাই ফলাফলে বহন হয়। যে উপাত্তে সার্থক অঙ্ক সবচেয়ে কম, ফলাফলকে সেই সংখ্যক সার্থক অঙ্কে রাউন্ড করুন।

সমাধান করা উদাহরণ 2। একটি আয়তাকার ব্লকের মাপ 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm। ক্যালকুলেটরে আয়তন 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³। উচ্চতায় মাত্র দুটি সার্থক অঙ্ক আছে, তাই আয়তন লিখতে হবে 16 cm³। উচ্চতা আরও যত্ন করে মাপা, ধরা যাক ক্যালিপারে 1.80 cm, তৃতীয় অঙ্কটিকে ন্যায্য প্রমাণ করার একমাত্র উপায় হতো।

লগারিদমের জন্য একটি সম্পর্কিত নিয়ম আছে, যা pH-এর কাজে দেখা যায়: লগারিদমের দশমিক স্থানের সংখ্যা মূল মানের সার্থক অঙ্কের সংখ্যার সমান। 3.4 × 10⁻⁴ mol/L হাইড্রোজেন আয়নের ঘনমাত্রায় দুটি সার্থক অঙ্ক আছে, তাই এর pH দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত লেখা হয়, 3.47।

একাধিক ধাপের গণনায় রাউন্ড করুন একবারই, শেষে

কয়েক ধাপের গণনায় প্রতিটি মধ্যবর্তী মানে অন্তত এক বা দুটি বাড়তি অঙ্ক (গার্ড অঙ্ক) রাখুন এবং কেবল চূড়ান্ত উত্তরটি রাউন্ড করুন। প্রতিটি ধাপ কয়টি সার্থক অঙ্ককে ন্যায্য করে তার হিসাব রাখুন, কিন্তু শেষ পর্যন্ত কোনো অঙ্ক ফেলে দেবেন না। প্রতি ধাপে রাউন্ড করলে প্রতিবার একটু করে ত্রুটি যোগ হয়, আর সেই ত্রুটিগুলো শেষে লেখা অঙ্কটি বদলে দিতে পারে।

সমাধান করা উদাহরণ 3। আপনি 1.37 g সোডিয়াম ক্লোরাইড পানিতে গুলে আয়তনমিতিক ফ্লাস্কে ঠিক 50.00 mL পর্যন্ত লঘু করলেন। দুই দশমিক স্থানে রাউন্ড করা IUPAC আদর্শ পারমাণবিক ভর (Na 22.99, Cl 35.45) ধরলে NaCl-এর মোলার ভর 58.44 g/mol। পরিমাণ হলো 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol, রাউন্ড না করে রাখা। আয়তন 0.05000 L, তাই ঘনমাত্রা 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L, যা রাউন্ড করে হয় 0.469 mol/L, কারণ ভরে তিনটি সার্থক অঙ্ক আছে।

আপনি যদি আগেই পরিমাণকে 0.0234 mol-এ রাউন্ড করতেন, তাহলে পেতেন 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L। পার্থক্য ছোট, কিন্তু এটি পরিমাপ থেকে নয়, গাণিতিক হিসাব থেকে আসা একটি প্রকৃত ত্রুটি, এবং দীর্ঘতর ধাপে এটি বড় হতে পারে।

কখন অর্ধেক অঙ্ক বাড়িয়ে রাউন্ড করবেন আর কখন জোড় অঙ্কে

আপনি যে প্রথম অঙ্কটি বাদ দিচ্ছেন সেটি 5-এর চেয়ে ছোট হলে রাখা অঙ্কটি যেমন আছে তেমনই রাখুন; সেটি 5-এর চেয়ে বড় হলে, বা 5-এর পরে কোনো অশূন্য অঙ্ক থাকলে, রাউন্ড আপ করুন। তাই তিনটি সার্থক অঙ্কে 0.064371 রাউন্ড হয়ে 0.0644 এবং 7.2849 রাউন্ড হয়ে 7.28 হয়।

একমাত্র বিতর্কিত ক্ষেত্র হলো বাদ দেওয়া অঙ্কটি ঠিক 5 এবং তার পরে আর কিছু নেই। OpenStax Chemistry 2e এমনভাবে রাউন্ড করে যাতে রাখা অঙ্কটি জোড় হয় (6.125 হয় 6.12, আর 6.135 হয় 6.14), যা বহুবার রাউন্ড করলে ঊর্ধ্বমুখী সামান্য পক্ষপাত এড়ায়। অনেক শিক্ষক কেবল 5-কে বাড়িয়ে রাউন্ড করেন। আপনার কোর্স কোন নিয়ম মানে তা দেখে নিন এবং ধারাবাহিকভাবে প্রয়োগ করুন; এটি কেবল এই একটি ক্ষেত্রকেই প্রভাবিত করে।

নিজের কাজে যে সার্থক অঙ্কের ভুলগুলো খুঁজবেন

সার্থক অঙ্কের বেশিরভাগ ভুল আসে কয়েকটি অনুমানযোগ্য অসতর্কতা থেকে। উত্তরের চারপাশে বাক্স আঁকার আগে উপাত্তগুলো আবার পড়ুন এবং জিজ্ঞাসা করুন কোনটি ফলাফলকে সীমিত করছে এবং কোন নিয়মে।

একটি ছোট অভ্যাস এটিকে রুটিনে পরিণত করে: প্রতিটি উত্তরের পাশে সীমিতকারী উপাত্ত এবং আপনি যে নিয়ম প্রয়োগ করেছেন (দশমিক স্থান নাকি অঙ্কের সংখ্যা) তা লিখে রাখুন। উত্তরে সেই উপাত্ত যতটা ন্যায্য করে তার চেয়ে বেশি অঙ্ক থাকলে রাউন্ড করুন; কম থাকলে ক্যালকুলেটর বাদ দিয়ে ফেলা কোনো শেষের শূন্য খুঁজুন।

• সুনির্দিষ্ট সংখ্যাকে উত্তর সীমিত করতে দেওয়া। 1000 mL/L গুণক বা 2 সহগ কখনও সার্থক অঙ্ক কমায় না।
• যোগফলের জন্য গুণের নিয়ম ব্যবহার করা। যোগফল ও বিয়োগফল সীমিত হয় দশমিক স্থান দিয়ে, অঙ্কের সংখ্যা দিয়ে নয়।
• প্রতিটি মধ্যবর্তী মান রাউন্ড করা। গার্ড অঙ্ক রাখুন এবং শেষে একবারই রাউন্ড করুন।
• অর্থবহ শেষের শূন্য বাদ দেওয়া। পরিমাপ 2.50 mL হলেও ক্যালকুলেটর দেখায় 2.5; শূন্যটি আবার লিখুন।
• শুরুর শূন্য গোনা। 0.0081 g-এ দুটি সার্থক অঙ্ক আছে, চারটি নয়।
• অস্পষ্ট শূন্যসহ পূর্ণসংখ্যা লেখা। তিনটি অঙ্ক অর্থবহ হলে 340 g-এর বদলে 3.40 × 10² g লিখুন।