الأرقام المعنوية في حسابات الكيمياء

القيم المقاسة مقابل الأعداد المضبوطة

القيمة المقاسة فيها عدم يقين لأن كل جهاز له حد. لما تقرا سحّاحة (بيوريت) متدرجة بخطوات 0.1 mL، بتسجّل العلامات المؤكدة وبعدين بتقدّر رقم زيادة بين العلامتين، فقراءة زي 18.36 mL فيها أربعة أرقام معنوية: تلاتة أرقام مؤكدة ورقم مقدَّر. لو كتبت 18.360 mL تبقى بتدّعي دقة السحّاحة مش قادرة تدّيها.

الأعداد المضبوطة ملهاش عدم يقين قياس. بتيجي من العدّ (12 أنبوبة اختبار في الحامل)، ومن التعريفات (1 بوصة بالظبط 2.54 cm، و1 L بالظبط 1000 mL)، ومن المعاملات والأرقام السفلية في الصيغ والمعادلات الكيميائية. اعتبر الأعداد المضبوطة ليها عدد غير محدود من الأرقام المعنوية، فعمرها ما بتحدّ من دقة النتيجة المحسوبة.

عدّ الأرقام، بما فيها الأصفار المحيّرة

الأرقام غير الصفرية معنوية دايمًا. أما الأصفار فبتبقى معنوية أو لأ حسب هل بتعبّر عن معلومة مقاسة ولا بس بتحدد مكان العلامة العشرية. القواعد اللي تحت بتغطي كل الحالات اللي هتقابلها في الكيمياء العامة.

الأصفار اللاحقة في عدد صحيح من غير علامة عشرية هي الحالة الوحيدة الغامضة فعلًا. كتلة مكتوبة 1200 g ممكن تكون معروفة لحد رقمين أو تلاتة أو أربعة أرقام معنوية. الصيغة العلمية بتشيل الغموض ده: 1.2 × 10³ g فيها رقمين، و1.20 × 10³ g فيها تلاتة، و1.200 × 10³ g فيها أربعة.

• الأصفار اللي بين أرقام غير صفرية معنوية: 30.506 g فيها خمسة.
• الأصفار السابقة عمرها ما بتبقى معنوية؛ دورها بس تحدد مكان العلامة العشرية: 0.004070 m فيها أربعة (4 و0 و7 و0).
• الأصفار اللاحقة على يمين العلامة العشرية معنوية: 2.500 mL فيها أربعة.
• الأصفار اللاحقة في عدد صحيح من غير علامة عشرية غامضة؛ استخدم الصيغة العلمية عشان توضّح قصدك.

الجمع والطرح: حاذي المنازل العشرية

لما بتجمع كميات أو تطرحها، عدم اليقين المهم هو عدم اليقين المطلق في آخر منزلة عشرية، مش عدد الأرقام المعنوية. قرّب النتيجة لنفس عدد المنازل العشرية بتاع القياس اللي أقل عدد منازل عشرية.

مثال محلول 1. بتجمع تلات أجزاء من مادة صلبة اتوزنت على موازين مختلفة: 12.6 g و0.237 g و105.42 g. الآلة الحاسبة بتعرض 118.257 g. الكتلة الأولى معروفة لحد خانة العُشر بس، فالمجموع معروف لحد خانة العُشر بس: 118.3 g. لاحظ إن الإجابة فيها أربعة أرقام معنوية مع إن مدخلًا واحدًا فيه تلاتة بس؛ في الجمع، عدد الأرقام مش هو اللي بيحدّ النتيجة.

الطرح ممكن يضيّع أرقام معنوية. افترض إن دورقًا فيه سائل وزنه 58.36 g على ميزان علوي، والدورق الفاضي كان وزنه 57.912 g على ميزان تحليلي. الفرق على الآلة الحاسبة 0.448 g، لكن الكتلة الأولى معروفة لحد خانة الجزء من مئة بس، فكتلة السائل 0.45 g. بيفضل رقمين معنويين من مدخلات كان فيها أربعة وخمسة. ولما يبقى الفرق الصغير بين رقمين كبار مهم، وزّن الاتنين على الميزان الأدق.

الضرب والقسمة: عدّ الأرقام المعنوية

في حاصل الضرب وحاصل القسمة، اللي بيتنقل هو عدم اليقين النسبي. قرّب النتيجة لنفس عدد الأرقام المعنوية بتاع المُدخل اللي أقل عدد أرقام معنوية.

مثال محلول 2. كتلة مستطيلة أبعادها 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm. الحجم 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ على الآلة الحاسبة. الارتفاع فيه رقمين معنويين بس، فالحجم بيتكتب 16 cm³. قياس الارتفاع بدقة أكتر، مثلًا 1.80 cm بالقدمة ذات الورنية، هو الطريقة الوحيدة اللي تبرّر رقم تالت.

اللوغاريتمات ليها قاعدة قريبة بتظهر في حسابات pH: عدد المنازل العشرية في اللوغاريتم بيساوي عدد الأرقام المعنوية في القيمة الأصلية. تركيز أيون الهيدروجين 3.4 × 10⁻⁴ mol/L فيه رقمين معنويين، فالـ pH بتاعه بيتكتب بمنزلتين عشريتين، 3.47.

التقريب مرة واحدة في آخر الحساب متعدد الخطوات

في حساب فيه خطوات كتير، احتفظ برقم أو رقمين زيادة (أرقام حماية) في كل قيمة وسيطة، وقرّب الإجابة النهائية بس. تابع كام رقم معنوي كل خطوة بتبرّره، لكن متشيلش أرقام قبل النهاية. التقريب في كل خطوة بيضيف خطأ صغير كل مرة، والأخطاء دي ممكن تغيّر آخر رقم بتكتبه.

مثال محلول 3. بتذوّب 1.37 g من كلوريد الصوديوم في الماء وتخفّفه لحد 50.00 mL بالظبط في دورق قياسي. باستخدام الأوزان الذرية القياسية من IUPAC مقرّبة لمنزلتين عشريتين (Na 22.99 وCl 35.45)، الكتلة المولية لـ NaCl هي 58.44 g/mol. الكمية = 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol، من غير تقريب. الحجم 0.05000 L، فالتركيز = 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L، وده بيتقرّب لـ 0.469 mol/L لأن الكتلة فيها تلاتة أرقام معنوية.

لو كنت قرّبت الكمية لـ 0.0234 mol الأول، كنت هتطلّع 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. الفرق صغير، لكنه خطأ حقيقي سببه العمليات الحسابية مش القياسات، وفي السلاسل الأطول ممكن يكبر.

إمتى تقرّب الرقم اللي في المنتصف لفوق أو لأقرب رقم زوجي

لو أول رقم هتشيله أقل من 5، سيب الرقم المحتفظ بيه زي ما هو؛ ولو أكبر من 5، أو 5 وبعده أي أرقام غير صفرية، قرّب لفوق. فـ 0.064371 بتتقرّب لـ 0.0644 و7.2849 بتتقرّب لـ 7.28 بتلات أرقام معنوية.

الحالة الوحيدة المختلف عليها هي لما الرقم المحذوف بيبقى 5 بالظبط ومفيش بعده حاجة. كتاب OpenStax Chemistry 2e بيقرّب بحيث يبقى الرقم المحتفظ بيه زوجي (6.125 تبقى 6.12، و6.135 تبقى 6.14)، وده بيتجنب انحياز بسيط لفوق على مدى تقريبات كتير. كتير من المدرّسين بيقرّبوا الـ 5 لفوق وخلاص. اعرف إيه الاصطلاح اللي بيستخدمه كورسك وطبّقه بثبات؛ هو بيأثر في الحالة دي بس.

أخطاء الأرقام المعنوية اللي تدوّر عليها في شغلك

أغلب أخطاء الأرقام المعنوية بتيجي من كام زلّة متوقعة. قبل ما تحط إجابتك في مربع، اقرا المُدخلات تاني واسأل نفسك أنهي واحد بيحدّ النتيجة وبأنهي قاعدة.

عادة سريعة بتخلّي ده روتين: جنب كل إجابة اكتب المُدخل المحدِّد والقاعدة اللي طبّقتها، المنازل العشرية ولا عدد الأرقام. لو الإجابة فيها أرقام أكتر من اللي المُدخل ده يبرّره، قرّبها؛ ولو فيها أقل، دوّر على صفر لاحق الآلة الحاسبة شالته.

• تخلّي عددًا مضبوطًا يحدّ الإجابة. معامل زي 1000 mL/L أو معامل 2 عمره ما بيقلّل الأرقام المعنوية.
• استخدام قاعدة الضرب في مجموع. المجاميع والفروق بتتحدد بالمنازل العشرية، مش بعدد الأرقام.
• تقريب كل قيمة وسيطة. احتفظ بأرقام الحماية وقرّب مرة واحدة في الآخر.
• حذف الأصفار اللاحقة المهمة. الآلة الحاسبة بتعرض 2.5 لما القياس كان 2.50 mL؛ رجّع الصفر.
• عدّ الأصفار السابقة. 0.0081 g فيها رقمين معنويين، مش أربعة.
• كتابة عدد صحيح بأصفار غامضة. اكتب 3.40 × 10² g بدل 340 g لما تكون تلات أرقام ليها معنى.