الأرقام المعنوية في حسابات الكيمياء

الأعداد المقيسة مقابل الأعداد الدقيقة

القيمة المقيسة غير مؤكدة لأن لكل أداة حدًّا. فعندما تقرأ سحّاحة مدرّجة بخطوات قدرها 0.1 mL، تسجّل العلامات المؤكدة ثم تقدّر رقمًا إضافيًا بين علامتين، ولذلك فإن قراءة مثل 18.36 mL تحتوي على أربعة أرقام معنوية: ثلاثة أرقام مؤكدة ورقم واحد مقدَّر. أما كتابة 18.360 mL فتدّعي دقة لا تستطيع السحّاحة تحقيقها.

الأعداد الدقيقة لا تحمل أي عدم يقين في القياس. فهي تأتي من العدّ (12 أنبوب اختبار في حامل)، ومن التعريفات (1 inch يساوي 2.54 cm تمامًا، و1 L يساوي 1000 mL تمامًا)، ومن المعاملات والرموز السفلية في الصيغ والمعادلات الكيميائية. تعامل مع الأعداد الدقيقة على أن لها عددًا غير محدود من الأرقام المعنوية، فلا تحدّ أبدًا من دقة النتيجة المحسوبة.

عدّ الأرقام، بما في ذلك الأصفار المربكة

الأرقام غير الصفرية معنوية دائمًا. أما الأصفار فتكون معنوية أو غير معنوية بحسب ما إذا كانت تعبّر عن معلومة مقيسة أو تحدد موضع الفاصلة العشرية فقط. وتغطي القواعد أدناه كل الحالات التي ستصادفها في الكيمياء العامة.

الأصفار اللاحقة في عدد صحيح بلا فاصلة عشرية هي الحالة الوحيدة الملتبسة فعلًا. فكتلة مكتوبة 1200 g قد تكون معلومة بدقة رقمين أو ثلاثة أو أربعة أرقام معنوية. ويزيل الترميز العلمي هذا الالتباس: 1.2 × 10³ g فيها رقمان، و1.20 × 10³ g فيها ثلاثة، و1.200 × 10³ g فيها أربعة.

• الأصفار الواقعة بين أرقام غير صفرية معنوية: 30.506 g فيها خمسة أرقام معنوية.
• الأصفار البادئة ليست معنوية أبدًا؛ فهي تحدد موضع الفاصلة العشرية فقط: 0.004070 m فيها أربعة (4 و0 و7 و0).
• الأصفار اللاحقة إلى يمين الفاصلة العشرية معنوية: 2.500 mL فيها أربعة أرقام معنوية.
• الأصفار اللاحقة في عدد صحيح بلا فاصلة عشرية ملتبسة؛ استخدم الترميز العلمي لتوضيح قصدك.

الجمع والطرح: حاذِ المنازل العشرية

عند جمع الكميات أو طرحها، يكون عدم اليقين المهم هو عدم اليقين المطلق في المنزلة العشرية الأخيرة، وليس عدد الأرقام المعنوية. قرّب النتيجة إلى عدد المنازل العشرية نفسه الموجود في القياس ذي أقل عدد من المنازل العشرية.

المثال المحلول 1. تجمع ثلاث حصص من مادة صلبة وُزنت على موازين مختلفة: 12.6 g و0.237 g و105.42 g. تعرض الآلة الحاسبة 118.257 g. الكتلة الأولى معلومة حتى منزلة الأعشار فقط، لذا فالمجموع معلوم حتى منزلة الأعشار فقط: 118.3 g. لاحظ أن الإجابة تحتوي على أربعة أرقام معنوية مع أن أحد المدخلات لم يكن فيه سوى ثلاثة؛ ففي الجمع لا تحدّ أعداد الأرقام من النتيجة.

قد يُتلف الطرح الأرقام المعنوية. افترض أن دورقًا يحتوي على سائل تبلغ كتلته 58.36 g على ميزان علوي التحميل، وأن كتلة الدورق الفارغ كانت 57.912 g على ميزان تحليلي. الفرق على الآلة الحاسبة 0.448 g، لكن الكتلة الأولى معلومة حتى منزلة المئات فقط، لذا تكون كتلة السائل 0.45 g. يبقى رقمان معنويان من مدخلات كان فيها أربعة وخمسة أرقام. وعندما يكون للفرق الصغير بين عددين كبيرين أهمية، زِن الكتلتين على الميزان الأدق.

الضرب والقسمة: عدّ الأرقام المعنوية

في حاصل الضرب وحاصل القسمة، ما ينتقل إلى النتيجة هو عدم اليقين النسبي. قرّب النتيجة إلى عدد الأرقام المعنوية نفسه الموجود في المدخل ذي أقل عدد من الأرقام المعنوية.

المثال المحلول 2. تبلغ أبعاد كتلة مستطيلة 4.20 cm في 2.15 cm في 1.8 cm. الحجم هو 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ على الآلة الحاسبة. الارتفاع فيه رقمان معنويان فقط، لذا يُذكر الحجم 16 cm³. ولن يبرّر رقمًا ثالثًا إلا قياس الارتفاع بعناية أكبر، مثلًا 1.80 cm بالقدمة ذات الورنية.

تتبع اللوغاريتمات قاعدة مشابهة تظهر في حسابات pH: عدد المنازل العشرية في اللوغاريتم يساوي عدد الأرقام المعنوية في القيمة الأصلية. تركيز أيون الهيدروجين 3.4 × 10⁻⁴ mol/L فيه رقمان معنويان، لذا يُذكر pH بمنزلتين عشريتين، أي 3.47.

التقريب مرة واحدة في نهاية الحساب متعدد الخطوات

في الحساب متعدد الخطوات، احتفظ برقم إضافي أو رقمين على الأقل (أرقام احتياطية) في كل قيمة وسيطة، وقرّب الإجابة النهائية فقط. تتبّع عدد الأرقام المعنوية الذي تبرره كل خطوة، لكن لا تتخلص من الأرقام إلا في النهاية. فالتقريب في كل خطوة يضيف خطأً صغيرًا في كل مرة، وقد تغيّر هذه الأخطاء الرقم الأخير المذكور.

المثال المحلول 3. تذيب 1.37 g من كلوريد الصوديوم في الماء وتخففه إلى 50.00 mL بالضبط في دورق حجمي. باستخدام الأوزان الذرية القياسية للاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية (IUPAC) مقرّبة إلى منزلتين عشريتين (Na 22.99 وCl 35.45)، تكون الكتلة المولية لـ NaCl هي 58.44 g/mol. الكمية هي 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol، وتُترك دون تقريب. الحجم 0.05000 L، فيكون التركيز 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L، ويُقرَّب إلى 0.469 mol/L لأن الكتلة فيها ثلاثة أرقام معنوية.

لو قرّبت الكمية إلى 0.0234 mol أولًا، لحصلت على 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L. الفرق صغير، لكنه خطأ حقيقي سببه العمليات الحسابية لا القياسات، وقد يكبر في السلاسل الأطول.

متى تُقرَّب الأرقام الواقعة في المنتصف إلى الأعلى أو إلى الرقم الزوجي

إذا كان أول رقم تحذفه أقل من 5، فاترك الرقم المحتفَظ به كما هو؛ وإذا كان أكبر من 5، أو كان 5 يتبعه أي رقم غير صفري، فقرّب إلى الأعلى. وهكذا يُقرَّب 0.064371 إلى 0.0644، ويُقرَّب 7.2849 إلى 7.28 عند ثلاثة أرقام معنوية.

الحالة الوحيدة المختلف عليها هي أن يكون الرقم المحذوف 5 تمامًا دون شيء بعده. يقرّب كتاب OpenStax Chemistry 2e بحيث يكون الرقم المحتفَظ به زوجيًا (6.125 تصبح 6.12، بينما 6.135 تصبح 6.14)، وهذا يتجنب انحيازًا طفيفًا إلى الأعلى عبر تقريبات كثيرة. ويقرّب كثير من المدرّسين 5 إلى الأعلى ببساطة. تحقق من الاصطلاح الذي يعتمده مقررك وطبّقه باتساق؛ فهو لا يؤثر إلا في هذه الحالة الواحدة.

أخطاء الأرقام المعنوية التي ينبغي أن تبحث عنها في عملك

تأتي معظم أخطاء الأرقام المعنوية من عدد قليل من الهفوات المتوقعة. قبل أن تضع إطارًا حول إجابتك، أعد قراءة المدخلات واسأل: أيها يحدّ من النتيجة، وبأي قاعدة.

عادة بسيطة تجعل هذا روتينيًا: دوّن بجانب كل إجابة المدخل المحدِّد والقاعدة التي طبّقتها، أي المنازل العشرية أو عدد الأرقام. فإذا أظهرت الإجابة أرقامًا أكثر مما يبرره ذلك المدخل، فقرّبها؛ وإذا أظهرت أقل، فابحث عن صفر لاحق حذفته الآلة الحاسبة.

• ترك عدد دقيق يحدّ من الإجابة. إن معامل 1000 mL/L أو معاملًا مثل 2 لا يقلّل الأرقام المعنوية أبدًا.
• استخدام قاعدة الضرب في مجموع. المجاميع والفروق تحدّها المنازل العشرية، لا أعداد الأرقام.
• تقريب كل قيمة وسيطة. احتفظ بالأرقام الاحتياطية وقرّب مرة واحدة في النهاية.
• حذف أصفار لاحقة ذات معنى. تعرض الآلة الحاسبة 2.5 حين يكون القياس 2.50 mL؛ أعد كتابة الصفر.
• عدّ الأصفار البادئة. 0.0081 g فيها رقمان معنويان، لا أربعة.
• ذكر عدد صحيح بأصفار ملتبسة. اكتب 3.40 × 10² g بدلًا من 340 g عندما تكون ثلاثة أرقام ذات معنى.