الضوء والأطياف الذرية: الفوتونات ومستويات الطاقة وخطوط الهيدروجين

الطول الموجي والتردد وسرعة الضوء

الضوء موجة كهرومغناطيسية. طوله الموجي λ هو المسافة بين قمتين، وتردده ν هو عدد القمم التي تمر بنقطة في كل ثانية، ويُقاس بالهرتز (s⁻¹). وفي الفراغ تنتقل كل الأطوال الموجية بالسرعة نفسها، c = 2.99792458 × 10⁸ m/s، وهي قيمة معرَّفة دقيقة يسردها NIST. وترتبط الكميات الثلاث بالعلاقة c = λν، لذا يتناسب الطول الموجي والتردد عكسيًا: إذا خفّضت أحدهما إلى النصف تضاعف الآخر.

يمتد الضوء المرئي من نحو 400 nm (البنفسجي) إلى 700 nm (الأحمر). وللأشعة فوق البنفسجية أطوال موجية أقصر وترددات أعلى؛ وللأشعة تحت الحمراء أطوال موجية أطول وترددات أدنى. حوّل النانومترات إلى أمتار قبل استخدام c = λν: 1 nm = 10⁻⁹ m.

طاقة الفوتون والظاهرة الكهروضوئية

يُمتص الضوء ويُبعث على شكل حزم تسمى الفوتونات. ويحمل كل فوتون طاقة E = hν = hc/λ، حيث h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s هو ثابت بلانك، وهو دقيق أيضًا. والطول الموجي الأقصر يعني طاقة أكبر لكل فوتون. أما الضوء الأسطع من اللون نفسه فيعني فوتونات أكثر، لا فوتونات أعلى طاقة.

المثال المحلول 1. الضوء الأصفر لمصباح الصوديوم قريب من 589.0 nm. تردده ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. ويحمل الفوتون الواحد E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. اضرب في عدد أفوجادرو، 6.022 × 10²³ mol⁻¹، لمول من الفوتونات: 2.031 × 10⁵ J، أي 203.1 kJ/mol. وهذا يضاهي طاقة رابطة كيميائية ضعيفة، ولهذا يستطيع الضوء المرئي والأشعة فوق البنفسجية إحداث تفاعلات كيميائية ضوئية.

تُظهر الظاهرة الكهروضوئية صورة الفوتون مباشرة. فالضوء لا يقذف الإلكترونات من فلز إلا إذا حمل كل فوتون ما لا يقل عن دالة الشغل للفلز، Φ. وأي طاقة زائدة تصبح طاقة حركية للإلكترون: KEmax = hν − Φ.

المثال المحلول 2. افترض أن لسطح فلزي طولًا موجيًا عتبيًا قدره 540 nm (قيمة معطاة لهذا التمرين). دالة الشغل له Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. والضوء البنفسجي عند 405 nm فوتوناته 4.905 × 10⁻¹⁹ J، فتكون KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. وبالتقريب إلى ثلاثة أرقام معنوية تكون 1.23 × 10⁻¹⁹ J، أي 0.765 eV. أما الضوء الأحمر عند 650 nm فلا يقذف أي إلكترونات مهما بلغت شدته، لأن لكل فوتون 3.06 × 10⁻¹⁹ J فقط.

لماذا تعطي الذرات أطيافًا خطية بدلًا من أقواس قزح

الجسم الصلب الساخن، مثل فتيل المصباح، يبعث طيفًا متصلًا. أما الغاز الساخن منخفض الضغط المكوّن من ذرات فلا يبعث إلا أطوالًا موجية معيّنة. فالإلكترونات في الذرة لا تشغل إلا مستويات طاقة معيّنة. وعندما يهبط إلكترون من مستوى أعلى إلى مستوى أدنى، تبعث الذرة فوتونًا واحدًا طاقته تساوي الفجوة: ΔE = hν. ولأنه لا توجد إلا فجوات معيّنة، لا تظهر إلا أطوال موجية معيّنة.

الامتصاص هو العكس. سلّط ضوءًا أبيض عبر غاز بارد فتزيل الذرات الأطوال الموجية التي تطابق قفزاتها إلى الأعلى بالضبط، تاركةً خطوطًا معتمة في طيف متصل فيما عدا ذلك. والقفزة بين المستويين نفسيهما لها الطول الموجي نفسه سواء امتصت الذرة أم بعثت. ومجموعة الفجوات لكل عنصر فريدة، لذا تحدد الأطياف هوية العناصر في اللهب والمصابيح والنجوم البعيدة.

مستويات طاقة الهيدروجين ومعادلة ريدبرغ

في الذرة ذات الإلكترون الواحد تتبع مستويات الطاقة صيغة بسيطة. يعطي OpenStax Chemistry 2e (القسم 6.2) العلاقة Eₙ = −kZ²/n²، حيث k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J، وZ الشحنة النووية، وn = 1 و2 و3 و…. والطاقة سالبة لأن الإلكترون المرتبط أدنى طاقة من إلكترون حر ساكن، تُجعل طاقته صفرًا. ومع ازدياد n تتزاحم المستويات مقتربة من الصفر.

الفوتون المنبعث عندما يهبط الإلكترون من nᵢ إلى n_f أدنى طاقته ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). وبالقسمة على hc نحصل على معادلة ريدبرغ للهيدروجين، 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²)، حيث R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

المثال المحلول 3. أوجد الطول الموجي لخط الهيدروجين n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J، مع الإبقاء على رقم إضافي واحد حتى النهاية. ومع hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m، يكون λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m، أي 656.4 nm. ويسرد دليل NIST للبيانات الطيفية الذرية الأساسية هذا الخط الأحمر عند 656.3 nm في الهواء. ويأتي الفرق في الرقم الأخير من تقريب k ومن سرعة الضوء الأبطأ قليلًا في الهواء.

المثال المحلول 4. طاقة تأين الهيدروجين هي الطاقة اللازمة لنقل الإلكترون من n = 1 إلى n = ∞، وهي k نفسها: 2.179 × 10⁻¹⁸ J لكل ذرة. ولكل مول: (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J، أي 1312 kJ/mol. وقيمة قاعدة بيانات NIST للأطياف الذرية، 13.598 eV، تتحول إلى 1312.0 kJ/mol.

متسلسلات لايمان وبالمر وباشن

الخطوط التي تنتهي عند المستوى الأدنى نفسه تكوّن متسلسلة. وتتقارب خطوطها كلها مع ازدياد nᵢ وتقترب من حد المتسلسلة، حيث يبدأ الإلكترون حرًا.

• متسلسلة لايمان، المنتهية عند n = 1: فوق بنفسجية. يقع الخط 2 → 1 عند 121.6 nm، وحد المتسلسلة قرب 91.2 nm.
• متسلسلة بالمر، المنتهية عند n = 2: خطوط الهيدروجين المرئية الأربعة، عند نحو 656 و486 و434 و410 nm لقيم nᵢ = 3 و4 و5 و6. وحد المتسلسلة قرب 365 nm، في المنطقة فوق البنفسجية.
• متسلسلة باشن، المنتهية عند n = 3: تحت حمراء. يقع الخط 4 → 3 قرب 1875 nm.

أخطاء الأطياف وفحوص سريعة

معظم الأخطاء في هذه المسائل أخطاء وحدات أو أخطاء إشارة. ويكشف فحصان معظمها: يجب أن يحمل الفوتون المرئي نحو 2.8 إلى 5.0 × 10⁻¹⁹ J، ويجب أن تعطي فجوة الطاقة الأكبر طولًا موجيًا أقصر.

• ترك الطول الموجي بالنانومتر عند استخدام c = λν أو E = hc/λ. حوّله إلى أمتار أولًا.
• استخدام معادلة ريدبرغ مع تبديل nᵢ وn_f، وهذا يعطي طولًا موجيًا سالبًا.
• توقّع أن تكون كل خطوط الهيدروجين مرئية. فمتسلسلة لايمان كلها فوق بنفسجية، ومتسلسلة باشن تحت حمراء.
• الظن بأن الضوء الأسطع يقذف إلكترونات ضوئية أسرع. فالشدة تغيّر عدد الإلكترونات، لا طاقتها العظمى.
• تطبيق Eₙ = −kZ²/n² على الهيليوم أو أي ذرة فيها أكثر من إلكترون واحد. فهي لا تصح إلا للأنواع أحادية الإلكترون مثل H وHe⁺ وLi²⁺.
• نسيان عدد أفوجادرو عند تحويل طاقة الفوتون الواحد إلى kJ/mol، أو تطبيقه مرتين.

ما الذي تفسره صورة بور وأين تتوقف

نموذج بور لذرة الهيدروجين، الذي يضع الإلكترون في مدارات دائرية ثابتة الطاقة، يعيد إنتاج خطوط الهيدروجين والتناسب مع Z² في أيونات مثل He⁺. ففي He⁺ تكون طاقة كل انتقال من انتقالات الهيدروجين أكبر بأربع مرات، لذا يقع خطه 2 → 1 قرب 30.4 nm.

يفشل النموذج في الذرات التي فيها إلكترونان أو أكثر، لأن التنافر بين الإلكترونات يغيّر المستويات. كما يصوّر الإلكترونات على مسارات محددة، وهو ما تستبعده ميكانيكا الكم. وتحتفظ النظرية الحديثة بمستويات طاقة بور للهيدروجين لكنها تستبدل بالمدارات الأفلاكَ، التي تصف أين يُرجَّح أن يوجد الإلكترون.