క్వాంటం సంఖ్యలు, ఆర్బిటాల్‌లు: నియమాలు, లెక్కింపులు, ఆకారాలు

తరంగాలుగా ఎలక్ట్రాన్‌లు: డి బ్రోగ్లీ తరంగదైర్ఘ్యం

1924 లో డి బ్రోగ్లీ కదిలే ప్రతి కణానికి λ = h/(mv) తరంగదైర్ఘ్యం ఉంటుందని ప్రతిపాదించాడు, ఇక్కడ h ప్లాంక్ స్థిరాంకం, m ద్రవ్యరాశి, v వేగం. రోజువారీ వస్తువులకు తరంగదైర్ఘ్యం గమనించలేనంత చిన్నది. 40.0 m/s వద్ద 0.145 kg బేస్‌బాల్‌కు λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) ద్రవ్యరాశి గల ఎలక్ట్రాన్‌కు, తరంగదైర్ఘ్యం పరమాణువు పరిమాణంతో పోల్చదగినది.

సాధన ఉదాహరణ 1. 2.188 × 10⁶ m/s వద్ద కదిలే ఎలక్ట్రాన్‌కు λ = h/(mv). CODATA విలువలు h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s, m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg తో, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, లేదా 0.3324 nm. హైడ్రోజన్ అత్యల్ప కక్ష్యలోని ఎలక్ట్రాన్‌కు బోర్ నమూనా కేటాయించే వేగం ఇదే, ఆ కక్ష్య వ్యాసార్ధం బోర్ వ్యాసార్ధం, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). కక్ష్య పరిధి 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, కాబట్టి దాని చుట్టూ ఒక ఎలక్ట్రాన్ తరంగదైర్ఘ్యం సరిపోతుంది, 0.02% కంటే మెరుగైన సామ్యంతో. గిటార్ తీగ కొన్ని పౌనఃపున్యాల వద్ద మాత్రమే కంపించగలిగినట్లే, ఎలక్ట్రాన్ తరంగం తనను తాను రద్దు చేసుకోకుండా తన స్థలంలో సరిపోవాల్సి వచ్చినప్పుడు క్వాంటీకృత శక్తి స్థాయిలు వస్తాయి.

అనిశ్చితత్వం, స్థిర కక్ష్యల ముగింపు

హైసెన్‌బర్గ్ అనిశ్చితత్వ సూత్రం స్థానం, ద్రవ్యవేగం రెండింటినీ కలిపి ఎంత బాగా తెలుసుకోవచ్చో దానికి పరిమితిని విధిస్తుంది: Δx·Δp ≥ ħ/2, ఇక్కడ ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

సాధన ఉదాహరణ 2. ఒక ఎలక్ట్రాన్‌ను 1.0 × 10⁻¹⁰ m వెడల్పు గల ప్రాంతంలో, సుమారు పరమాణువు పరిమాణంలో, బంధించండి. అప్పుడు Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. వేగంలోని అనిశ్చితి వేగంలోనే గణనీయమైన భాగం, కాబట్టి గ్రహ కక్ష్య వంటి నిర్దిష్ట మార్గం పరమాణువులోని ఎలక్ట్రాన్‌కు అర్థరహితం.

క్వాంటం యాంత్రికశాస్త్రం మార్గాన్ని తరంగ ప్రమేయం, ψ, తో భర్తీ చేస్తుంది. దాని వర్గం, ψ², సంభావ్యతా సాంద్రత: చిన్న ప్రాంతం ఘనపరిమాణంతో గుణిస్తే, అక్కడ ఎలక్ట్రాన్ కనిపించే సంభావ్యతను ఇస్తుంది. ఆర్బిటాల్ అంటే ఒక ఎలక్ట్రాన్‌కు తరంగ ప్రమేయం, పరిచితమైన ఆర్బిటాల్ చిత్రాలు ఆ సంభావ్యతలో ఎక్కువ భాగాన్ని, తరచుగా 90%, ఆవరించే ఉపరితలాలు.

n, l, mₗ, mₛ అనుమతించబడిన విలువలు

హైడ్రోజన్ పరమాణువుకు తరంగ సమీకరణాన్ని సాధిస్తే మూడు క్వాంటం సంఖ్యలు వస్తాయి, ప్రతిదీ దాని ముందున్నదానిచే పరిమితం. నాలుగోది ఎలక్ట్రాన్ స్పిన్‌ను వివరిస్తుంది. ఈ పరిమితులే మొత్తం ఆట.

• ప్రధాన క్వాంటం సంఖ్య n = 1, 2, 3, …. ఇది కర్పరాన్ని, హైడ్రోజన్‌లో శక్తిని నిర్ణయిస్తుంది. పెద్ద n అంటే పెద్ద, అధిక శక్తి ఆర్బిటాల్.
• కోణీయ ద్రవ్యవేగ క్వాంటం సంఖ్య l = 0, 1, …, n − 1. ఇది ఉపకర్పరాన్ని, ఆకారాన్ని నిర్ణయిస్తుంది: l = 0, 1, 2, 3 అంటే s, p, d, f.
• అయస్కాంత క్వాంటం సంఖ్య mₗ = −l, …, 0, …, +l, 2l + 1 విలువలను ఇస్తుంది. ఇది అంతరిక్షంలో ఆర్బిటాల్ దిగ్విన్యాసాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.
• స్పిన్ క్వాంటం సంఖ్య mₛ = +½ లేదా −½. ఇది మిగతా మూడింటిపై ఆధారపడదు.

సాధన ఉదాహరణ: క్వాంటం సంఖ్యల ఆరు సమితులను పరీక్షించడం

ఒక సమితి (n, l, mₗ, mₛ) ను పరీక్షించడానికి, ప్రతి సంఖ్యను దాని ముందున్నదానితో క్రమంలో సరిచూడండి. మొదటి ఉల్లంఘన వద్ద ఆపండి.

(3, 3, 0, +½) అనుమతించబడదు: l గరిష్ఠంగా n − 1 = 2 ఉండాలి. (4, 2, −3, −½) అనుమతించబడదు: l = 2 తో, mₗ −2 నుండి +2 వరకు మాత్రమే ఉంటుంది. (3, 2, 1, 0) అనుమతించబడదు: mₛ +½ లేదా −½ ఉండాలి, ఎప్పుడూ 0 కాదు. (2, 1, −1, −½) అనుమతించబడుతుంది, 2p ఆర్బిటాల్‌లోని ఎలక్ట్రాన్‌ను వివరిస్తుంది. (5, 0, 0, +½) అనుమతించబడుతుంది, 5s ఎలక్ట్రాన్‌ను వివరిస్తుంది. (4, 3, −3, +½) అనుమతించబడుతుంది, 4f ఎలక్ట్రాన్‌ను వివరిస్తుంది.

అనుమతించబడిన సమితి నుండి ఆర్బిటాల్‌కు పేరు పెట్టడానికి, n తర్వాత l కు సంబంధించిన అక్షరాన్ని రాయండి. mₗ విలువ ఉపకర్పరంలోని ఒక ఆర్బిటాల్‌ను ఎంచుకుంటుంది కానీ ఈ సంజ్ఞామానంలో దాని పేరును మార్చదు.

ఒక పరిమితి కింద ఆర్బిటాల్‌లను, ఎలక్ట్రాన్‌లను లెక్కించడం

మీరు అనుమతించబడిన l విలువలను, తర్వాత ప్రతిదానికి mₗ విలువలను జాబితా చేసి, ఆ తర్వాతే పరిమితిని వర్తింపజేస్తే లెక్కింపు ప్రశ్నలు సాధారణమవుతాయి. ప్రతి ఆర్బిటాల్, అంటే ప్రతి అనుమతించబడిన (n, l, mₗ) కలయిక, రెండు ఎలక్ట్రాన్‌లను కలిగి ఉంటుంది, ఒక్కొక్క స్పిన్‌తో ఒకటి.

ప్రధాన క్వాంటం సంఖ్య n గల కర్పరంలో n² ఆర్బిటాల్‌లు, 2n² ఎలక్ట్రాన్‌లు ఉంటాయి. n = 4 కు, l 0, 1, 2 లేదా 3 కావచ్చు, ఇది 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ఆర్బిటాల్‌లు, 32 ఎలక్ట్రాన్‌లను ఇస్తుంది.

సాధన ఉదాహరణ 3. ఒక పరమాణువులో ఎన్ని ఎలక్ట్రాన్‌లకు n = 3, mₗ = +1 ఉండవచ్చు? n = 3 కు l విలువలు 0, 1, 2. l ≥ 1 అయినప్పుడు మాత్రమే mₗ = +1 సాధ్యం, కాబట్టి 3p లో అలాంటి ఆర్బిటాల్ ఒకటి, 3d లో ఒకటి ఉన్నాయి: రెండు ఆర్బిటాల్‌లు, నాలుగు ఎలక్ట్రాన్‌లు. ఎన్నింటికి n = 5, mₛ = +½ ఉండవచ్చు? కర్పరం 5 లో 5² = 25 ఆర్బిటాల్‌లు ఉన్నాయి, ప్రతిదానిలో ఒక +½ ఎలక్ట్రాన్, కాబట్టి 25. ఎన్నింటికి n = 4, l = 2 ఉండవచ్చు? అది 4d ఉపకర్పరం: 5 ఆర్బిటాల్‌లు, 10 ఎలక్ట్రాన్‌లు.

ఆర్బిటాల్ ఆకారాలు, నోడ్‌లను లెక్కించడం

నోడ్ అంటే ψ, తద్వారా ఎలక్ట్రాన్ కనిపించే సంభావ్యత, సున్నాగా ఉండే ప్రదేశం. ఒక ఆర్బిటాల్‌కు మొత్తం n − 1 నోడ్‌లు ఉంటాయి. వీటిలో, l కోణీయ నోడ్‌లు, అంటే కేంద్రకం గుండా వెళ్లే తలాలు లేదా శంకువులు, మిగిలిన n − l − 1 వ్యాసార్ధ నోడ్‌లు, అంటే స్థిర దూరాల వద్ద గోళాకార కర్పరాలు. OpenStax Chemistry 2e (విభాగం 6.3) వ్యాసార్ధ నోడ్ నియమాన్ని ఇస్తుంది.

s ఆర్బిటాల్‌లు (l = 0) కోణీయ నోడ్‌లు లేకుండా గోళాకారంగా ఉంటాయి, కాబట్టి 2s ఆర్బిటాల్‌కు ఒక వ్యాసార్ధ నోడ్, 3s ఆర్బిటాల్‌కు రెండు ఉంటాయి. p ఆర్బిటాల్‌లకు (l = 1) కేంద్రకానికి ఎదురెదురు వైపులా రెండు లోబ్‌లు, వాటి మధ్య ఒక నోడల్ తలం ఉంటాయి; మూడింటినీ అవి సూచించే అక్షం ప్రకారం pₓ, p_y, p_z అని లేబుల్ చేస్తారు. d ఆర్బిటాల్‌లకు (l = 2) రెండు కోణీయ నోడ్‌లు ఉంటాయి. వాటిలో నాలుగింటికి నాలుగు లోబ్‌లు ఉంటాయి; ఐదోది, d_z², z అక్షం వెంబడి రెండు లోబ్‌లు, మధ్యలో ఒక వలయాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

సాధన ఉదాహరణ 4. 3p ఆర్బిటాల్‌కు 3 − 1 − 1 = 1 వ్యాసార్ధ నోడ్, 1 కోణీయ నోడ్ ఉంటాయి. 4d ఆర్బిటాల్‌కు 1 వ్యాసార్ధ నోడ్, 2 కోణీయ నోడ్‌లు, మొత్తం 3 ఉంటాయి. 3d ఆర్బిటాల్‌కు వ్యాసార్ధ నోడ్‌లు లేవు, 6s ఆర్బిటాల్‌కు 5 ఉంటాయి.

ఒకే కర్పరంలోని ఆర్బిటాల్‌లు శక్తిలో ఎప్పుడు భిన్నంగా ఉంటాయి

హైడ్రోజన్‌లో, శక్తి n పై మాత్రమే ఆధారపడుతుంది, కాబట్టి 3s, 3p, 3d లకు ఒకే శక్తి ఉంటుంది. ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఎలక్ట్రాన్‌లు ఉన్న పరమాణువులలో, ఇతర ఎలక్ట్రాన్‌లు కేంద్రకాన్ని అసమానంగా రక్షిస్తాయి. ఒక s ఎలక్ట్రాన్ అదే కర్పరంలోని p లేదా d ఎలక్ట్రాన్ కంటే కేంద్రకానికి దగ్గరగా చొచ్చుకుపోతుంది, కేంద్రక ఆవేశాన్ని ఎక్కువగా అనుభవిస్తుంది, తక్కువ శక్తిలో ఉంటుంది. ఫలితం ఒక కర్పరంలో s < p < d < f విభజన, ఇది ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాల మార్గదర్శిలో చర్చించిన నింపే క్రమాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.

మూడు 2p ఆర్బిటాల్‌ల వంటి ఒకే ఉపకర్పరంలోని ఆర్బిటాల్‌లు వివిక్త పరమాణువులో సమాన శక్తితో ఉంటాయి. వాటిని సమశక్తి (డీజెనరేట్) ఆర్బిటాల్‌లు అంటారు. అణువు లేదా స్ఫటికంలోని చుట్టుపక్కల పరమాణువులు ఆ సమశక్తిత్వాన్ని భంగపరచగలవు.

సరిచూడాల్సిన క్వాంటం సంఖ్య తప్పులు

దాదాపు ప్రతి తప్పు జాబితా చేసే దశను దాటవేయడం వల్ల వస్తుంది. సందేహం ఉంటే, లెక్కించే ముందు ప్రతి అనుమతించబడిన విలువను రాయండి.

• l ను n కు సమానం కానివ్వడం. అనుమతించబడిన గరిష్ఠ l విలువ n − 1, కాబట్టి 1p లేదా 2d ఆర్బిటాల్ లేదు.
• mₗ విలువలను −l నుండి +l వరకు కాకుండా 0 నుండి l వరకు లెక్కించడం, ఇది ఆర్బిటాల్‌లను తక్కువగా లెక్కిస్తుంది.
• ప్రశ్న ఎలక్ట్రాన్‌లను అడిగినప్పుడు ఆర్బిటాల్‌లను లెక్కించడం, లేదా దీనికి వ్యతిరేకంగా. ప్రతి ఆర్బిటాల్ రెండు ఎలక్ట్రాన్‌లను కలిగి ఉంటుంది.
• mₛ కు 0 లేదా 1 విలువ ఇవ్వడం. స్పిన్ +½ లేదా −½ మాత్రమే.
• n − l − 1 ను మొత్తం నోడ్‌ల సంఖ్యగా ఉపయోగించడం. ఆ సూత్రం వ్యాసార్ధ నోడ్‌లను మాత్రమే లెక్కిస్తుంది; మొత్తం n − 1.
• 90% సరిహద్దు ఉపరితలాన్ని కఠినమైన అంచుగా పరిగణించడం. ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత క్రమంగా మసకబారుతుంది, దానికి పదునైన సరిహద్దు ఉండదు.