కాంతి, పరమాణు వర్ణపటాలు: ఫోటాన్‌లు, శక్తి స్థాయిలు, హైడ్రోజన్ రేఖలు

తరంగదైర్ఘ్యం, పౌనఃపున్యం, కాంతి వేగం

కాంతి ఒక విద్యుదయస్కాంత తరంగం. దాని తరంగదైర్ఘ్యం λ అంటే శృంగాల మధ్య దూరం, దాని పౌనఃపున్యం ν అంటే ప్రతి సెకనుకు ఒక బిందువును దాటే శృంగాల సంఖ్య, హెర్ట్జ్‌లలో (s⁻¹). శూన్యంలో ప్రతి తరంగదైర్ఘ్యం ఒకే వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, ఇది NIST జాబితా చేసిన ఖచ్చితమైన నిర్వచిత విలువ. మూడు రాశులు c = λν ద్వారా అనుసంధానమై ఉన్నాయి, కాబట్టి తరంగదైర్ఘ్యం, పౌనఃపున్యం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి: ఒకదాన్ని సగం చేస్తే మరొకటి రెట్టింపవుతుంది.

దృశ్య కాంతి సుమారు 400 nm (ఊదా) నుండి 700 nm (ఎరుపు) వరకు ఉంటుంది. అతినీలలోహిత కాంతికి తక్కువ తరంగదైర్ఘ్యాలు, ఎక్కువ పౌనఃపున్యాలు ఉంటాయి; పరారుణ కాంతికి ఎక్కువ తరంగదైర్ఘ్యాలు, తక్కువ పౌనఃపున్యాలు ఉంటాయి. c = λν ఉపయోగించే ముందు నానోమీటర్లను మీటర్లకు మార్చండి: 1 nm = 10⁻⁹ m.

ఫోటాన్ శక్తి, కాంతివిద్యుత్ ఫలితం

కాంతి ఫోటాన్‌లు అనే పొట్లాలుగా శోషించబడుతుంది, ఉద్గారించబడుతుంది. ప్రతి ఫోటాన్ E = hν = hc/λ శక్తిని కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s ప్లాంక్ స్థిరాంకం, ఇది కూడా ఖచ్చితమైనది. తక్కువ తరంగదైర్ఘ్యం అంటే ఒక్కో ఫోటాన్‌కు ఎక్కువ శక్తి. అదే రంగులోని ప్రకాశవంతమైన కాంతి అంటే ఎక్కువ ఫోటాన్‌లు, ఎక్కువ శక్తివంతమైన ఫోటాన్‌లు కాదు.

సాధన ఉదాహరణ 1. సోడియం దీపం పసుపు కాంతి 589.0 nm దగ్గర ఉంటుంది. దాని పౌనఃపున్యం ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. ఒక ఫోటాన్ E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J శక్తిని కలిగి ఉంటుంది. ఒక మోల్ ఫోటాన్‌ల కోసం అవోగాడ్రో సంఖ్య, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, తో గుణించండి: 2.031 × 10⁵ J, లేదా 203.1 kJ/mol. ఇది బలహీన రసాయన బంధ శక్తితో పోల్చదగినది, అందుకే దృశ్య, అతినీలలోహిత కాంతి కాంతిరసాయన చర్యలను నడిపించగలదు.

కాంతివిద్యుత్ ఫలితం ఫోటాన్ చిత్రాన్ని నేరుగా చూపిస్తుంది. ప్రతి ఫోటాన్ కనీసం లోహం పని ప్రమేయం, Φ, అంత శక్తిని కలిగి ఉంటేనే కాంతి లోహం నుండి ఎలక్ట్రాన్‌లను బయటకు నెడుతుంది. ఏదైనా అదనపు శక్తి ఎలక్ట్రాన్ గతిజ శక్తి అవుతుంది: KEmax = hν − Φ.

సాధన ఉదాహరణ 2. ఒక లోహ ఉపరితలానికి ఆరంభ తరంగదైర్ఘ్యం 540 nm అనుకోండి (ఈ అభ్యాసం కోసం ఇచ్చిన విలువ). దాని పని ప్రమేయం Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. 405 nm వద్ద ఊదా కాంతికి 4.905 × 10⁻¹⁹ J ఫోటాన్‌లు ఉంటాయి, కాబట్టి KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. మూడు సార్థక అంకెలకు పూర్తి చేస్తే, అది 1.23 × 10⁻¹⁹ J, లేదా 0.765 eV. 650 nm వద్ద ఎరుపు కాంతి, ఎంత తీవ్రంగా ఉన్నా, ఏ ఎలక్ట్రాన్‌లనూ బయటకు నెట్టదు, ఎందుకంటే ప్రతి ఫోటాన్‌కు కేవలం 3.06 × 10⁻¹⁹ J మాత్రమే ఉంటుంది.

పరమాణువులు ఇంద్రధనుస్సులకు బదులు రేఖా వర్ణపటాలను ఎందుకు ఇస్తాయి

దీపం తంతువు వంటి వేడి ఘనం అవిచ్ఛిన్న వర్ణపటాన్ని ఉద్గారిస్తుంది. వేడి, అల్ప పీడన పరమాణు వాయువు కొన్ని తరంగదైర్ఘ్యాలను మాత్రమే ఉద్గారిస్తుంది. పరమాణువులోని ఎలక్ట్రాన్‌లు కొన్ని శక్తి స్థాయిలను మాత్రమే ఆక్రమించగలవు. ఎలక్ట్రాన్ ఎత్తైన స్థాయి నుండి తక్కువ స్థాయికి దిగినప్పుడు, పరమాణువు ఆ అంతరానికి సమానమైన శక్తి గల ఒకే ఫోటాన్‌ను ఉద్గారిస్తుంది: ΔE = hν. కొన్ని అంతరాలు మాత్రమే ఉన్నందున, కొన్ని తరంగదైర్ఘ్యాలు మాత్రమే కనిపిస్తాయి.

శోషణ దీనికి వ్యతిరేకం. చల్లని వాయువు గుండా తెల్లని కాంతిని ప్రసరిస్తే, పరమాణువులు వాటి పైకి దూకే మార్పులకు సరిపోయే తరంగదైర్ఘ్యాలను ఖచ్చితంగా తొలగిస్తాయి, లేకుంటే అవిచ్ఛిన్నంగా ఉండే వర్ణపటంలో చీకటి రేఖలను వదిలివేస్తాయి. అవే రెండు స్థాయిల మధ్య దూకుడుకు, పరమాణువు శోషించినా ఉద్గారించినా, ఒకే తరంగదైర్ఘ్యం ఉంటుంది. ప్రతి మూలకం అంతరాల సమితి ప్రత్యేకమైనది, కాబట్టి వర్ణపటాలు జ్వాలలు, దీపాలు, సుదూర నక్షత్రాలలో మూలకాలను గుర్తిస్తాయి.

హైడ్రోజన్ శక్తి స్థాయిలు, రిడ్‌బర్గ్ సమీకరణం

ఒక-ఎలక్ట్రాన్ పరమాణువుకు, శక్తి స్థాయిలు ఒక సరళ సూత్రాన్ని అనుసరిస్తాయి. OpenStax Chemistry 2e (విభాగం 6.2) Eₙ = −kZ²/n² ఇస్తుంది, ఇక్కడ k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z కేంద్రక ఆవేశం, n = 1, 2, 3, …. బంధిత ఎలక్ట్రాన్ సున్నాగా నిర్ణయించిన విరామంలోని స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్ కంటే తక్కువ శక్తిలో ఉంటుంది కాబట్టి శక్తి ఋణాత్మకం. n పెరిగే కొద్దీ, స్థాయిలు సున్నా వైపు దగ్గరగా గుమిగూడుతాయి.

ఎలక్ట్రాన్ nᵢ నుండి తక్కువ n_f కు పడినప్పుడు ఉద్గారించే ఫోటాన్ శక్తి ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). hc తో భాగిస్తే హైడ్రోజన్‌కు రిడ్‌బర్గ్ సమీకరణం వస్తుంది, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), ఇక్కడ R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

సాధన ఉదాహరణ 3. హైడ్రోజన్ n = 3 → n = 2 రేఖ తరంగదైర్ఘ్యాన్ని కనుగొనండి. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, చివరి వరకు ఒక అదనపు అంకెను ఉంచుతూ. hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m తో, λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, లేదా 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data ఈ ఎరుపు రేఖను గాలిలో 656.3 nm వద్ద జాబితా చేస్తుంది. చివరి అంకె తేడా k ను పూర్తి చేయడం వల్ల, గాలిలో కాంతి వేగం కొద్దిగా తక్కువగా ఉండటం వల్ల వస్తుంది.

సాధన ఉదాహరణ 4. హైడ్రోజన్ అయనీకరణ శక్తి అంటే ఎలక్ట్రాన్‌ను n = 1 నుండి n = ∞ కు తరలించడానికి అవసరమైన శక్తి, ఇది k యే: ఒక్కో పరమాణువుకు 2.179 × 10⁻¹⁸ J. ఒక్కో మోల్‌కు, (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, లేదా 1312 kJ/mol. NIST Atomic Spectra Database విలువ, 13.598 eV, 1312.0 kJ/mol గా మారుతుంది.

లైమన్, బామర్, పాషెన్ శ్రేణులు

ఒకే దిగువ స్థాయిలో ముగిసే రేఖలు ఒక శ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి. nᵢ పెరిగే కొద్దీ అవన్నీ దగ్గరవుతాయి, ఎలక్ట్రాన్ స్వేచ్ఛగా మొదలయ్యే శ్రేణి అవధిని సమీపిస్తాయి.

• n = 1 వద్ద ముగిసే లైమన్ శ్రేణి: అతినీలలోహితం. 2 → 1 రేఖ 121.6 nm వద్ద ఉంది, శ్రేణి అవధి 91.2 nm దగ్గర ఉంది.
• n = 2 వద్ద ముగిసే బామర్ శ్రేణి: నాలుగు దృశ్య హైడ్రోజన్ రేఖలు, nᵢ = 3, 4, 5, 6 కు సుమారు 656, 486, 434, 410 nm వద్ద. శ్రేణి అవధి 365 nm దగ్గర, అతినీలలోహితంలో ఉంది.
• n = 3 వద్ద ముగిసే పాషెన్ శ్రేణి: పరారుణం. 4 → 3 రేఖ 1875 nm దగ్గర ఉంది.

వర్ణపట తప్పులు, త్వరిత తనిఖీలు

ఈ సమస్యలలో చాలా తప్పులు ప్రమాణ తప్పులు లేదా గుర్తు తప్పులు. రెండు తనిఖీలు వాటిలో చాలావాటిని పట్టుకుంటాయి: దృశ్య ఫోటాన్ సుమారు 2.8 నుండి 5.0 × 10⁻¹⁹ J శక్తిని కలిగి ఉండాలి, పెద్ద శక్తి అంతరం తక్కువ తరంగదైర్ఘ్యాన్ని ఇవ్వాలి.

• c = λν లేదా E = hc/λ ఉపయోగించేటప్పుడు తరంగదైర్ఘ్యాన్ని నానోమీటర్లలోనే వదిలేయడం. ముందు మీటర్లకు మార్చండి.
• nᵢ, n_f ను తారుమారు చేసి రిడ్‌బర్గ్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం, ఇది ఋణాత్మక తరంగదైర్ఘ్యాన్ని ఇస్తుంది.
• ప్రతి హైడ్రోజన్ రేఖ కనిపిస్తుందని ఆశించడం. మొత్తం లైమన్ శ్రేణి అతినీలలోహితం, పాషెన్ శ్రేణి పరారుణం.
• ప్రకాశవంతమైన కాంతి వేగవంతమైన కాంతి ఎలక్ట్రాన్‌లను బయటకు నెడుతుందని అనుకోవడం. తీవ్రత ఎలక్ట్రాన్‌ల సంఖ్యను మారుస్తుంది, వాటి గరిష్ఠ శక్తిని కాదు.
• Eₙ = −kZ²/n² ను హీలియంకు లేదా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఎలక్ట్రాన్‌లు ఉన్న ఏ పరమాణువుకైనా వర్తింపజేయడం. ఇది H, He⁺, Li²⁺ వంటి ఒక-ఎలక్ట్రాన్ జాతులకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది.
• ఒక్కో ఫోటాన్ శక్తిని kJ/mol కు మార్చేటప్పుడు అవోగాడ్రో సంఖ్యను మర్చిపోవడం, లేదా దాన్ని రెండుసార్లు వర్తింపజేయడం.

బోర్ చిత్రం ఏమి వివరిస్తుంది, ఎక్కడ ఆగిపోతుంది

స్థిర శక్తి గల వృత్తాకార కక్ష్యలలో ఎలక్ట్రాన్ ఉండే బోర్ హైడ్రోజన్ పరమాణు నమూనా, హైడ్రోజన్ రేఖలను, He⁺ వంటి అయాన్‌లకు Z² స్కేలింగ్‌ను పునరుత్పత్తి చేస్తుంది. He⁺ కు, ప్రతి హైడ్రోజన్ పరివర్తన శక్తి నాలుగు రెట్లు పెద్దది, కాబట్టి దాని 2 → 1 రేఖ 30.4 nm దగ్గర ఉంటుంది.

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఎలక్ట్రాన్‌లు ఉన్న పరమాణువులకు ఈ నమూనా విఫలమవుతుంది, ఎందుకంటే ఎలక్ట్రాన్–ఎలక్ట్రాన్ వికర్షణ స్థాయిలను మారుస్తుంది. అది ఎలక్ట్రాన్‌లను నిర్దిష్ట మార్గాలపై కూడా చిత్రిస్తుంది, దీన్ని క్వాంటం యాంత్రికశాస్త్రం తోసిపుచ్చుతుంది. ఆధునిక సిద్ధాంతం హైడ్రోజన్‌కు బోర్ శక్తి స్థాయిలను ఉంచుతుంది కానీ కక్ష్యలను ఆర్బిటాల్‌లతో భర్తీ చేస్తుంది, ఇవి ఎలక్ట్రాన్ ఎక్కడ కనిపించే అవకాశం ఉందో వివరిస్తాయి.