Światło i widma atomowe: fotony, poziomy energetyczne i linie wodoru

Długość fali, częstotliwość i prędkość światła

Światło jest falą elektromagnetyczną. Jego długość fali λ to odległość między grzbietami, a częstotliwość ν to liczba grzbietów mijających dany punkt w ciągu sekundy, wyrażona w hercach (s⁻¹). W próżni każda długość fali rozchodzi się z tą samą prędkością, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, dokładną wartością definicyjną podawaną przez NIST. Trzy wielkości łączy zależność c = λν, więc długość fali i częstotliwość są odwrotnie proporcjonalne: zmniejsz jedną o połowę, a druga się podwoi.

Światło widzialne obejmuje zakres od około 400 nm (fiolet) do 700 nm (czerwień). Promieniowanie ultrafioletowe ma krótsze fale i wyższe częstotliwości; podczerwone ma dłuższe fale i niższe częstotliwości. Przed użyciem c = λν zamień nanometry na metry: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Energia fotonu i zjawisko fotoelektryczne

Światło jest pochłaniane i emitowane porcjami zwanymi fotonami. Każdy foton niesie energię E = hν = hc/λ, gdzie h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s to stała Plancka, również dokładna. Krótsza fala oznacza większą energię na foton. Jaśniejsze światło tej samej barwy oznacza więcej fotonów, a nie fotony o większej energii.

Przykład rozwiązany 1. Żółte światło lampy sodowej ma długość fali bliską 589.0 nm. Jego częstotliwość wynosi ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Jeden foton niesie E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Pomnóż przez liczbę Avogadra, 6.022 × 10²³ mol⁻¹, aby otrzymać wartość dla mola fotonów: 2.031 × 10⁵ J, czyli 203.1 kJ/mol. To wartość porównywalna z energią słabego wiązania chemicznego, dlatego światło widzialne i ultrafioletowe może wywoływać reakcje fotochemiczne.

Zjawisko fotoelektryczne bezpośrednio pokazuje obraz fotonowy. Światło wybija elektrony z metalu tylko wtedy, gdy każdy foton niesie co najmniej pracę wyjścia metalu, Φ. Nadmiar energii staje się energią kinetyczną elektronu: KEmax = hν − Φ.

Przykład rozwiązany 2. Załóżmy, że powierzchnia metalu ma progową długość fali 540 nm (wartość przyjęta na potrzeby tego ćwiczenia). Jej praca wyjścia wynosi Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Fioletowe światło o długości 405 nm ma fotony o energii 4.905 × 10⁻¹⁹ J, więc KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Po zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących to 1.23 × 10⁻¹⁹ J, czyli 0.765 eV. Czerwone światło o długości 650 nm, niezależnie od natężenia, nie wybija elektronów, ponieważ każdy foton ma tylko 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Dlaczego atomy dają widma liniowe zamiast tęczy

Gorące ciało stałe, takie jak żarnik lampy, emituje widmo ciągłe. Gorący gaz atomowy pod niskim ciśnieniem emituje tylko określone długości fal. Elektrony w atomie mogą zajmować tylko określone poziomy energetyczne. Gdy elektron przechodzi z wyższego poziomu na niższy, atom emituje pojedynczy foton o energii równej różnicy poziomów: ΔE = hν. Ponieważ istnieją tylko określone różnice, pojawiają się tylko określone długości fal.

Absorpcja jest procesem odwrotnym. Przepuść białe światło przez zimny gaz, a atomy pochłoną dokładnie te długości fal, które odpowiadają ich przejściom w górę, pozostawiając ciemne linie w widmie, które poza tym jest ciągłe. Przejście między tymi samymi dwoma poziomami ma tę samą długość fali niezależnie od tego, czy atom pochłania, czy emituje. Zestaw różnic poziomów każdego pierwiastka jest niepowtarzalny, więc widma pozwalają identyfikować pierwiastki w płomieniach, lampach i odległych gwiazdach.

Poziomy energetyczne wodoru i równanie Rydberga

Dla atomu jednoelektronowego poziomy energetyczne opisuje prosty wzór. OpenStax Chemistry 2e (podrozdział 6.2) podaje Eₙ = −kZ²/n², gdzie k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z to ładunek jądra, a n = 1, 2, 3, …. Energia jest ujemna, ponieważ związany elektron ma niższą energię niż swobodny elektron w spoczynku, którego energię przyjmuje się za zero. Wraz ze wzrostem n poziomy zagęszczają się, zbliżając się do zera.

Foton emitowany, gdy elektron przechodzi z poziomu nᵢ na niższy poziom n_f, ma energię ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Podzielenie przez hc daje równanie Rydberga dla wodoru, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), gdzie R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Przykład rozwiązany 3. Znajdź długość fali linii wodoru n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, z jedną dodatkową cyfrą zachowaną do końca. Przy hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m, czyli 656.4 nm. NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data podaje dla tej czerwonej linii 656.3 nm w powietrzu. Różnica na ostatniej cyfrze wynika z zaokrąglenia k oraz z nieco mniejszej prędkości światła w powietrzu.

Przykład rozwiązany 4. Energia jonizacji wodoru to energia potrzebna do przeniesienia elektronu z n = 1 do n = ∞, czyli samo k: 2.179 × 10⁻¹⁸ J na atom. Na mol: (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J, czyli 1312 kJ/mol. Wartość z NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, odpowiada 1312.0 kJ/mol.

Serie Lymana, Balmera i Paschena

Linie kończące się na tym samym niższym poziomie tworzą serię. Wszystkie zbliżają się do siebie wraz ze wzrostem nᵢ i dążą do granicy serii, odpowiadającej elektronowi początkowo swobodnemu.

• Seria Lymana, kończąca się na n = 1: ultrafiolet. Linia 2 → 1 leży przy 121.6 nm, a granica serii w pobliżu 91.2 nm.
• Seria Balmera, kończąca się na n = 2: cztery widzialne linie wodoru, przy około 656, 486, 434 i 410 nm dla nᵢ = 3, 4, 5 i 6. Granica serii leży w pobliżu 365 nm, w ultrafiolecie.
• Seria Paschena, kończąca się na n = 3: podczerwień. Linia 4 → 3 leży w pobliżu 1875 nm.

Błędy w zadaniach o widmach i szybkie kontrole

Większość błędów w tych zadaniach to błędy jednostek lub znaków. Dwie kontrole wychwytują większość z nich: foton światła widzialnego powinien nieść około 2.8 do 5.0 × 10⁻¹⁹ J, a większa różnica energii musi dawać krótszą falę.

• Pozostawianie długości fali w nanometrach przy korzystaniu z c = λν lub E = hc/λ. Najpierw zamień ją na metry.
• Używanie równania Rydberga z zamienionymi nᵢ i n_f, co daje ujemną długość fali.
• Oczekiwanie, że każda linia wodoru jest widzialna. Cała seria Lymana leży w ultrafiolecie, a seria Paschena w podczerwieni.
• Przekonanie, że jaśniejsze światło wybija szybsze fotoelektrony. Natężenie zmienia liczbę elektronów, a nie ich maksymalną energię.
• Stosowanie Eₙ = −kZ²/n² do helu lub dowolnego atomu z więcej niż jednym elektronem. Wzór obowiązuje tylko dla indywiduów jednoelektronowych, takich jak H, He⁺ i Li²⁺.
• Zapominanie o liczbie Avogadra przy przeliczaniu energii na foton na kJ/mol albo stosowanie jej dwukrotnie.

Co wyjaśnia model Bohra i gdzie przestaje działać

Model atomu wodoru Bohra, z elektronem na kołowych orbitach o stałej energii, odtwarza linie wodoru i skalowanie z Z² dla jonów takich jak He⁺. Dla He⁺ każda energia przejścia jest cztery razy większa niż w wodorze, więc jego linia 2 → 1 leży w pobliżu 30.4 nm.

Model zawodzi dla atomów z dwoma lub więcej elektronami, ponieważ odpychanie elektron–elektron zmienia poziomy. Przedstawia też elektrony na określonych torach, co mechanika kwantowa wyklucza. Współczesna teoria zachowuje poziomy energetyczne Bohra dla wodoru, ale zastępuje orbity orbitalami, które opisują, gdzie elektron najprawdopodobniej się znajduje.