Kjernekjemi: bindingsenergi, nedbrytningsmåter og halveringstider

Forholdet mellom nøytroner og protoner og stabilitetsbåndet

En kjerne inneholder protoner og nøytroner, som samlet kalles nukleoner. Protonene frastøter hverandre elektrisk, og den sterke kjernekraften, som bare virker over svært korte avstander, holder alle nukleonene sammen. Om en kjerne er stabil, avhenger hovedsakelig av balansen mellom protoner og nøytroner.

Plotter du nøytroner mot protoner for de stabile nuklidene, havner de i et smalt stabilitetsbånd. Lette stabile kjerner har omtrent like mange av hver: nitrogen-14 har sju av hver. Tyngre kjerner trenger ekstra nøytroner for å motvirke den økende frastøtningen mellom protonene. OpenStax oppgir et n:p-forhold på 1.15 for jern-56 og 1.52 for bly-207. Alle isotoper av alle grunnstoffer etter vismut (Z = 83) er radioaktive.

En nuklide utenfor båndet brytes ned på en måte som flytter den mot båndet. Denne ene ideen forutsier de fleste nedbrytningsmåtene, slik listen over nedbrytningsmåter nedenfor viser.

Massedefekt og kjernebindingsenergi

En kjerne har mindre masse enn de separate protonene og nøytronene den er bygd av. Den manglende massen, massedefekten, svarer til kjernebindingsenergien gjennom E = mc². I atommasseenheter tilsvarer 1 u 931.494 MeV (CODATA-verdi fra NIST).

Regneeksempel 1. Finn bindingsenergien til helium-4. Bruk av atommasser holder elektronene i balanse: to hydrogen-1-atomer gir de to protonene og to elektroner. NIST oppgir 1.007 825 032 u for ¹H og 4.002 603 254 u for ⁴He, og CODATA gir 1.008 664 916 u for nøytronet. Separate partikler: 2(1.007 825 032) + 2(1.008 664 916) = 4.032 979 896 u. Massedefekt: 4.032 979 896 − 4.002 603 254 = 0.030 376 642 u. Bindingsenergi: 0.030 376 642 u × 931.494 MeV/u = 28.30 MeV, eller 7.074 MeV per nukleon. OpenStax oppgir 28.4 MeV fordi den bruker masser avrundet til fire desimaler, noe som viser hvor følsom en liten differanse mellom store tall er for avrunding.

Skalert til et mol er 28.30 MeV per kjerne 2.73 × 10¹² J/mol. Forbrenning av et mol metan frigjør omtrent 890 kJ (ut fra dannelsesentalpier i vedlegg G), så dannelsen av helium-4 fra nukleonene frigjør omtrent tre millioner ganger så mye energi per mol. Bindingsenergien per nukleon er størst nær massetall 56; OpenStax beregner 8.820 MeV per nukleon for jern-56. Derfor frigjør både fusjon av lette kjerner og spalting av svært tunge kjerner energi.

Fem nedbrytningsmåter og hva hver av dem endrer

Hver nedbrytningsmåte endrer massetallet A og atomnummeret Z på en fast måte. Vet du hvilken side av båndet en nuklide ligger på, vet du hvilke nedbrytningsmåter som er sannsynlige.

• Alfanedbrytning sender ut en helium-4-kjerne, ⁴₂He. A synker med 4 og Z med 2. Den er vanlig for tunge kjerner etter vismut.
• Betanedbrytning sender ut et elektron, ⁰₋₁e, når et nøytron blir til et proton. A er uendret og Z øker med 1. Den forekommer i nøytronrike nuklider over båndet.
• Positronutsendelse sender ut et positron, ⁰₊₁e, når et proton blir til et nøytron. A er uendret og Z synker med 1. Den forekommer i protonrike nuklider under båndet.
• Elektroninnfangning trekker et indre elektron inn i kjernen, der det kombineres med et proton og danner et nøytron. A er uendret og Z synker med 1, samme endring som ved positronutsendelse.
• Gammautsendelse frigjør et høyenergetisk foton, ⁰₀γ, fra en kjerne i en eksitert tilstand. A og Z er uendret. Den følger ofte med de andre nedbrytningsmåtene.

Å balansere en kjernereaksjonslikning ved å bevare A og Z

En kjernereaksjonslikning er balansert når massetallene (hevet skrift) har samme sum på begge sider, og atomnumrene (senket skrift) også har det. Atomnummeret til produktet identifiserer da grunnstoffet.

Uran-238 gjennomgår alfanedbrytning: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He. Kontroll: 238 = 234 + 4 og 92 = 90 + 2. Karbon-14 gjennomgår betanedbrytning: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e, der 6 = 7 + (−1). Fluor-18, som brukes i PET-skanning, gjennomgår positronutsendelse: ¹⁸₉F → ¹⁸₈O + ⁰₊₁e. Kalium-40 kan gjennomgå elektroninnfangning, med elektronet skrevet som en reaktant: ⁴⁰₁₉K + ⁰₋₁e → ⁴⁰₁₈Ar.

For å finne en ukjent partikkel trekker du fra. Thorium-234 brytes ned til protaktinium-234: ²³⁴₉₀Th → ²³⁴₉₁Pa + X. For X er A = 234 − 234 = 0 og Z = 90 − 91 = −1, så X er ⁰₋₁e, og dette er betanedbrytning. Forutsigelsene passer med båndet: karbon-14 har et n:p-forhold på 1.33, høyt for en så lett kjerne, og betanedbrytning bringer det ned til 1.00 i nitrogen-14.

Halveringstidsberegninger for førsteordens nedbrytning

Radioaktiv nedbrytning er en førsteordensprosess: i løpet av en gitt tid brytes den samme andelen av de gjenværende kjernene ned, uansett startmengde. Halveringstiden, t½, er tiden det tar før halvparten av kjernene er brutt ned. Den er praktisk talt uavhengig av temperatur, trykk og kjemisk form, og det er det som gjør den nyttig til datering. Mengden som er igjen etter tiden t, er N = N₀ × (½)^(t/t½). Tilsvarende er ln(N/N₀) = −kt med nedbrytningskonstanten k = 0.693/t½.

Regneeksempel 2. Jod-131, som brukes til å behandle skjoldbruskkjertelsykdom, har t½ = 8.02 døgn (tabell 21.2 i OpenStax). Hvor mye av en prøve på 50.0 mg er igjen etter 30.0 døgn? t/t½ = 30.0 ÷ 8.02 = 3.741 halveringstider. N = 50.0 mg × (½)^3.741 = 3.74 mg. Et raskt overslag bekrefter det: etter 3 halveringstider ville 6.25 mg vært igjen og etter 4 halveringstider 3.13 mg, så svaret må ligge mellom disse.

Regneeksempel 3. Fluor-18 har t½ = 110. minutter. Hvor lang tid tar det før aktiviteten har sunket til 10.0 prosent av startverdien? Aktiviteten er proporsjonal med antallet kjerner, så løs (½)^(t/110.) = 0.100. t = 110. min × ln(10.0) ÷ ln 2 = 365 min, omtrent 6.1 timer. Dette korte tidsvinduet er grunnen til at fluor-18 må lages nær stedet der det skal brukes.

Regneeksempel: karbondatering av en gjenstand av tre

Levende organismer holder et stabilt forhold mellom karbon-14 og karbon-12 ved å utveksle karbon med omgivelsene. Etter døden brytes karbon-14 ned med t½ = 5730 år (avsnitt 21.3 i OpenStax) og erstattes ikke, så forholdet synker på en forutsigbar måte.

Et redskap av tre inneholder 28.0 prosent av karbon-14-innholdet i levende tre. Løs 0.280 = (½)^(t/5730 y). Ved å ta logaritmen får du t = 5730 y × ln(1/0.280) ÷ ln 2 = 1.05 × 10⁴ år, eller omtrent 1.84 halveringstider. Kontroller overslaget: etter én halveringstid er 50 prosent igjen og etter to 25 prosent, og 28.0 prosent ligger like før to.

OpenStax sier at metoden er nøyaktig opp til omtrent 30 000 år og gir rimelige dateringer opp til høyst omtrent 50 000 år. Utover det er det for lite karbon-14 igjen til å måle pålitelig. Virkelige karbondateringer korrigeres også for tidligere endringer i karbon-14-innholdet i atmosfæren.

Feil i kjernereaksjonslikninger og nedbrytningsregning

To kontroller fanger de fleste problemer: balanser A og Z hver for seg i hver likning, og anslå hvor mange halveringstider som har gått, før du bruker kalkulatoren.

• Å bytte om endringene ved beta- og positronutsendelse. Beta øker Z med 1; positronutsendelse og elektroninnfangning senker den med 1.
• Å balansere massetallene, men ikke atomnumrene, eller omvendt.
• Å trekke massene av nakne protoner fra en atommasse uten å ta hensyn til elektronene. Bruker du atommasser for hydrogen-1, unngår du problemet.
• Å dele startmengden på antallet halveringstider i stedet for å halvere den gjentatte ganger.
• Å blande tidsenheter, for eksempel en halveringstid i døgn med en medgått tid i timer.
• Å avrunde massene før man tar differansen i en beregning av massedefekt.