रसायनशास्त्रका गणनामा सार्थक अंक

मापन गरिएका सङ्ख्या र सटीक सङ्ख्या

प्रत्येक उपकरणको सीमा हुने भएकाले मापन गरिएको मान अनिश्चित हुन्छ। 0.1 mL का चरणमा चिह्न लगाइएको ब्युरेट पढ्दा तपाईंले निश्चित चिह्नहरू लेख्नुहुन्छ र तिनबीच अर्को एउटा अंक अनुमान गर्नुहुन्छ, त्यसैले 18.36 mL जस्तो पाठ्याङ्कमा चारओटा सार्थक अंक हुन्छन्: तीनओटा निश्चित अंक र एउटा अनुमानित अंक। 18.360 mL लेख्नु भनेको ब्युरेटले दिन नसक्ने परिशुद्धताको दाबी गर्नु हो।

सटीक सङ्ख्यामा मापनको अनिश्चितता हुँदैन। तिनीहरू गणनाबाट (र्‍याकमा 12 ओटा परीक्षण नली), परिभाषाबाट (1 इन्च ठ्याक्कै 2.54 cm हुन्छ, र 1 L ठ्याक्कै 1000 mL हुन्छ), तथा रासायनिक सूत्र र समीकरणका गुणाङ्क र सबस्क्रिप्टबाट आउँछन्। सटीक सङ्ख्यामा असीमित सार्थक अंक हुन्छन् भनी मान्नुहोस्, त्यसैले तिनले गणना गरिएको नतिजाको परिशुद्धतालाई कहिल्यै सीमित गर्दैनन्।

अंक गन्ने, झन्झटिला शून्यसहित

शून्य बाहेकका अंक सधैँ सार्थक हुन्छन्। शून्यले मापित जानकारी जनाउँछ कि दशमलव बिन्दुको स्थानमात्र जनाउँछ भन्ने कुरामा शून्य सार्थक हुन्छ वा हुँदैन भन्ने निर्भर गर्छ। तलका नियमले सामान्य रसायनशास्त्रमा तपाईंले भेट्ने सबै अवस्थालाई समेट्छन्।

दशमलव बिन्दु नभएको पूर्णाङ्कमा पछाडिका शून्य नै साँच्चै अस्पष्ट हुने एक मात्र अवस्था हो। 1200 g लेखिएको द्रव्यमान दुई, तीन वा चारओटा सार्थक अंकसम्म थाहा भएको हुन सक्छ। वैज्ञानिक सङ्केतनले यो अस्पष्टता हटाउँछ: 1.2 × 10³ g मा दुई, 1.20 × 10³ g मा तीन, र 1.200 × 10³ g मा चारओटा सार्थक अंक हुन्छन्।

• शून्य बाहेकका अंकबीचका शून्य सार्थक हुन्छन्: 30.506 g मा पाँचओटा सार्थक अंक छन्।
• अगाडिका शून्य कहिल्यै सार्थक हुँदैनन्; तिनले दशमलव बिन्दुको स्थानमात्र जनाउँछन्: 0.004070 m मा चारओटा (4, 0, 7, 0) छन्।
• दशमलव बिन्दुको दायाँतिर पछाडिका शून्य सार्थक हुन्छन्: 2.500 mL मा चारओटा छन्।
• दशमलव बिन्दु नभएको पूर्णाङ्कमा पछाडिका शून्य अस्पष्ट हुन्छन्; आफ्नो आशय स्पष्ट गर्न वैज्ञानिक सङ्केतन प्रयोग गर्नुहोस्।

जोड र घटाउ: दशमलव स्थान मिलाउनुहोस्

परिमाणहरू जोड्दा वा घटाउँदा महत्त्वपूर्ण हुने अनिश्चितता सार्थक अंकको सङ्ख्या होइन, अन्तिम दशमलव स्थानको निरपेक्ष अनिश्चितता हो। नतिजालाई सबैभन्दा कम दशमलव स्थान भएको मापनजत्तिकै दशमलव स्थानसम्म राउन्ड गर्नुहोस्।

हल गरिएको उदाहरण 1। तपाईंले फरक-फरक तराजुमा तौलिएको ठोस पदार्थका तीन भाग मिलाउनुहुन्छ: 12.6 g, 0.237 g, र 105.42 g। क्याल्कुलेटरले 118.257 g देखाउँछ। पहिलो द्रव्यमान दशौँ स्थानसम्म मात्र थाहा छ, त्यसैले योगफल पनि दशौँ स्थानसम्म मात्र थाहा हुन्छ: 118.3 g। ध्यान दिनुहोस्, एउटा इनपुटमा तीनओटा मात्र सार्थक अंक भए पनि उत्तरमा चारओटा सार्थक अंक छन्; जोडमा नतिजालाई सीमित गर्ने कुरा अंकको सङ्ख्या होइन।

घटाउँदा सार्थक अंक नष्ट हुन सक्छन्। मानौँ, तरल पदार्थ भएको फ्लास्कको तौल टप-लोडिङ तराजुमा 58.36 g छ र खाली फ्लास्कको तौल विश्लेषणात्मक तराजुमा 57.912 g थियो। क्याल्कुलेटरमा फरक 0.448 g देखिन्छ, तर पहिलो द्रव्यमान सयौँ स्थानसम्म मात्र थाहा छ, त्यसैले तरल पदार्थको द्रव्यमान 0.45 g हुन्छ। चार र पाँच अंक भएका इनपुटबाट दुईओटा सार्थक अंक मात्र बाँकी रहे। दुई ठूला सङ्ख्याबीचको सानो फरक महत्त्वपूर्ण हुँदा दुवैलाई बढी परिशुद्ध तराजुमा तौल्नुहोस्।

गुणन र भाग: सार्थक अंक गन्नुहोस्

गुणनफल र भागफलमा सापेक्ष अनिश्चितता नै अगाडि सर्छ। नतिजालाई सबैभन्दा कम सार्थक अंक भएको इनपुटजत्तिकै सार्थक अंकसम्म राउन्ड गर्नुहोस्।

हल गरिएको उदाहरण 2। एउटा आयताकार ब्लकको नाप 4.20 cm, 2.15 cm र 1.8 cm छ। क्याल्कुलेटरमा आयतन 4.20 cm × 2.15 cm × 1.8 cm = 16.254 cm³ आउँछ। उचाइमा दुईओटा मात्र सार्थक अंक छन्, त्यसैले आयतन 16 cm³ भनी लेखिन्छ। उचाइलाई बढी सावधानीपूर्वक मापेर, जस्तै क्यालिपरले 1.80 cm मापेर, मात्र तेस्रो अंक राख्न सकिन्छ।

लघुगणकले pH सम्बन्धी कार्यमा देखिने सम्बन्धित नियम पछ्याउँछ: लघुगणकमा दशमलव स्थानको सङ्ख्या मूल मानका सार्थक अंकको सङ्ख्या बराबर हुन्छ। 3.4 × 10⁻⁴ mol/L को हाइड्रोजन-आयन सान्द्रतामा दुईओटा सार्थक अंक हुन्छन्, त्यसैले यसको pH दुई दशमलव स्थानसम्म, 3.47, लेखिन्छ।

बहुचरण गणनामा एकपटक मात्र, अन्त्यमा, राउन्ड गर्ने

धेरै चरण भएको गणनामा प्रत्येक मध्यवर्ती मानमा कम्तीमा एक वा दुईओटा अतिरिक्त अंक (सुरक्षात्मक अंक) राख्नुहोस् र अन्तिम उत्तरलाई मात्र राउन्ड गर्नुहोस्। प्रत्येक चरणले कतिओटा सार्थक अंक जायज ठहर्‍याउँछ भनेर हिसाब राख्नुहोस्, तर अन्त्यसम्म अंक नफाल्नुहोस्। प्रत्येक चरणमा राउन्ड गर्दा हरेक पटक सानो त्रुटि थपिन्छ, र ती त्रुटिले अन्तिम लेखिने अंक बदल्न सक्छन्।

हल गरिएको उदाहरण 3। तपाईंले 1.37 g सोडियम क्लोराइडलाई पानीमा घोलेर आयतनमापी फ्लास्कमा ठ्याक्कै 50.00 mL सम्म तनु बनाउनुहुन्छ। दुई दशमलव स्थानसम्म राउन्ड गरिएका IUPAC मानक परमाणु भार (Na 22.99, Cl 35.45) प्रयोग गर्दा NaCl को मोलर द्रव्यमान 58.44 g/mol हुन्छ। परिमाण 1.37 g ÷ 58.44 g/mol = 0.023443 mol हुन्छ, जसलाई राउन्ड नगरी राखिएको छ। आयतन 0.05000 L हुन्छ, त्यसैले सान्द्रता 0.023443 mol ÷ 0.05000 L = 0.46886 mol/L हुन्छ, जुन 0.469 mol/L मा राउन्ड हुन्छ किनभने द्रव्यमानमा तीनओटा सार्थक अंक छन्।

यदि तपाईंले परिमाणलाई पहिले नै 0.0234 mol मा राउन्ड गर्नुभएको भए 0.0234 mol ÷ 0.05000 L = 0.468 mol/L आउँथ्यो। फरक सानो छ, तर यो मापनले होइन गणितीय क्रियाले ल्याएको वास्तविक त्रुटि हो, र लामो शृङ्खलामा यो बढ्न सक्छ।

आधा अंकलाई कहिले माथि र कहिले सम अंकतिर राउन्ड गर्ने

फाल्न लागिएको पहिलो अंक 5 भन्दा सानो छ भने राखिने अंकलाई जस्ताको तस्तै छोड्नुहोस्; त्यो 5 भन्दा ठूलो छ, वा 5 पछि शून्य नभएको कुनै अंक छ भने माथि राउन्ड गर्नुहोस्। त्यसैले तीन सार्थक अंकमा 0.064371 लाई 0.0644 र 7.2849 लाई 7.28 मा राउन्ड गरिन्छ।

विवादित अवस्था एउटै मात्र छ: फालिएको अंक ठ्याक्कै 5 छ र त्यसपछि केही छैन। OpenStax Chemistry 2e ले राखिने अंक सम हुने गरी राउन्ड गर्छ (6.125 लाई 6.12 र 6.135 लाई 6.14 बनाइन्छ), जसले धेरै पटक राउन्ड गर्दा हुने थोरै माथितर्फको पूर्वाग्रहलाई टार्छ। धेरै शिक्षकले 5 लाई सजिलै माथि राउन्ड गर्छन्। आफ्नो पाठ्यक्रमले कुन परिपाटी प्रयोग गर्छ जाँच्नुहोस् र त्यसलाई एकरूपताले लागू गर्नुहोस्; यसले यही एउटा अवस्थालाई मात्र असर गर्छ।

आफ्नो कामका सार्थक अंकसम्बन्धी त्रुटि खोज्नुहोस्

अधिकांश सार्थक अंकसम्बन्धी त्रुटि केही अनुमान गर्न सकिने चुकबाट आउँछन्। उत्तरमा बाकस कोर्नुअघि इनपुटहरू फेरि पढ्नुहोस् र कुनचाहिँ इनपुटले र कुन नियमअनुसार नतिजालाई सीमित गर्छ भनेर सोध्नुहोस्।

एउटा छिटो बानीले यसलाई नियमित बनाउँछ: प्रत्येक उत्तरको छेउमा सीमित गर्ने इनपुट र प्रयोग गरिएको नियम, दशमलव स्थान वा अंकको सङ्ख्या, टिपोट गर्नुहोस्। उत्तरले त्यो इनपुटले जायज ठहर्‍याउनेभन्दा बढी अंक देखाउँछ भने त्यसलाई राउन्ड गर्नुहोस्; कम अंक देखाउँछ भने क्याल्कुलेटरले छोडिदिएको पछाडिको शून्य खोज्नुहोस्।

• सटीक सङ्ख्यालाई उत्तर सीमित गर्न दिनु। 1000 mL/L को गुणक वा 2 को गुणाङ्कले सार्थक अंक कहिल्यै घटाउँदैन।
• जोडका लागि गुणनको नियम प्रयोग गर्नु। योग र फरक अंकको सङ्ख्याले होइन, दशमलव स्थानले सीमित हुन्छन्।
• हरेक मध्यवर्ती मानलाई राउन्ड गर्नु। सुरक्षात्मक अंक राख्नुहोस् र अन्त्यमा एकपटक मात्र राउन्ड गर्नुहोस्।
• अर्थपूर्ण पछाडिका शून्य छोड्नु। मापन 2.50 mL हुँदा क्याल्कुलेटरले 2.5 देखाउँछ; शून्य फेरि लेख्नुहोस्।
• अगाडिका शून्य गन्नु। 0.0081 g मा चारओटा होइन, दुईओटा सार्थक अंक हुन्छन्।
• अस्पष्ट शून्य भएको पूर्णाङ्क लेख्नु। तीनओटा अंक अर्थपूर्ण हुँदा 340 g भन्दा 3.40 × 10² g लेख्नुहोस्।