क्वान्टम सङ्ख्या र कक्षक: नियम, गणना र आकार

तरङ्गका रूपमा इलेक्ट्रोन: डि ब्रोग्ली तरङ्गदैर्ध्य

सन् 1924 मा डि ब्रोग्लीले हरेक गतिशील कणको तरङ्गदैर्ध्य λ = h/(mv) हुन्छ भन्ने प्रस्ताव गरे, जहाँ h प्लाङ्क स्थिरांक, m द्रव्यमान र v गति हो। दैनिक वस्तुका लागि तरङ्गदैर्ध्य याद गर्न नसकिने गरी निकै सानो हुन्छ। 40.0 m/s मा चलिरहेको 0.145 kg को बेसबलको λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m हुन्छ। 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA) द्रव्यमान भएको इलेक्ट्रोनका लागि तरङ्गदैर्ध्य परमाणुको आकारसँग तुलनीय हुन्छ।

हल गरिएको उदाहरण 1। 2.188 × 10⁶ m/s मा चलिरहेको इलेक्ट्रोनको λ = h/(mv) हुन्छ। CODATA का मान h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s र m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg सँग λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, अर्थात् 0.3324 nm। यो गति बोरको मोडेलले हाइड्रोजनको सबैभन्दा तल्लो कक्षमा रहेको इलेक्ट्रोनलाई दिने गति हो, जसको अर्धव्यास बोर अर्धव्यास, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA), हो। कक्षको परिधि 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m हो, त्यसैले यसको वरिपरि इलेक्ट्रोनको एउटा तरङ्गदैर्ध्य अटाउँछ, 0.02% भन्दा राम्रो मेलसहित। इलेक्ट्रोनको तरङ्गले आफैँलाई नमेटाई आफ्नो ठाउँमा अटाउनुपर्दा क्वान्टित ऊर्जा स्तर प्राप्त हुन्छन्, जसरी गितारको तार केही निश्चित आवृत्तिमा मात्र कम्पन गर्न सक्छ।

अनिश्चितता र निश्चित कक्षको अन्त्य

हाइजेनबर्गको अनिश्चितता सिद्धान्तले स्थिति र संवेग एकसाथ कति राम्ररी जान्न सकिन्छ भन्नेमा सीमा तोक्छ: Δx·Δp ≥ ħ/2, जहाँ ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s।

हल गरिएको उदाहरण 2। इलेक्ट्रोनलाई 1.0 × 10⁻¹⁰ m चौडा क्षेत्रमा, करिब परमाणुको आकारमा, सीमित गर्नुहोस्। त्यसपछि Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, र Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s। गतिको अनिश्चितता गतिकै ठूलो अंश हो, त्यसैले ग्रहको कक्ष जस्तो निश्चित पथ परमाणुभित्रको इलेक्ट्रोनका लागि अर्थहीन हुन्छ।

क्वान्टम यान्त्रिकीले पथलाई तरङ्ग फलन, ψ, ले प्रतिस्थापन गर्छ। यसको वर्ग, ψ², सम्भाव्यता घनत्व हो: सानो क्षेत्रको आयतनले गुणन गर्दा यसले त्यहाँ इलेक्ट्रोन भेटिने सम्भाव्यता दिन्छ। कक्षक भनेको एउटा इलेक्ट्रोनको तरङ्ग फलन हो, र कक्षकका परिचित चित्र त्यो सम्भाव्यताको अधिकांश भाग, प्रायः 90%, घेर्ने सतह हुन्।

n, l, mₗ र mₛ का अनुमत मान

हाइड्रोजन परमाणुका लागि तरङ्ग समीकरण हल गर्दा तीनओटा क्वान्टम सङ्ख्या आउँछन्, र प्रत्येक त्यसअघिको सङ्ख्याले सीमित हुन्छ। चौथोले इलेक्ट्रोनको चक्रण वर्णन गर्छ। सारा खेल यिनै प्रतिबन्धको हो।

• मुख्य क्वान्टम सङ्ख्या n = 1, 2, 3, …। यसले कोश र, हाइड्रोजनमा, ऊर्जा तय गर्छ। ठूलो n को अर्थ ठूलो, उच्च ऊर्जाको कक्षक हो।
• कोणीय संवेग क्वान्टम सङ्ख्या l = 0, 1, …, n − 1। यसले उपकोश र आकार तय गर्छ: l = 0, 1, 2, 3 क्रमशः s, p, d, f हुन्।
• चुम्बकीय क्वान्टम सङ्ख्या mₗ = −l, …, 0, …, +l, जसले 2l + 1 मान दिन्छ। यसले अन्तरिक्षमा कक्षकको अभिमुखीकरण तय गर्छ।
• चक्रण क्वान्टम सङ्ख्या mₛ = +½ वा −½। यो अरू तीनमा निर्भर गर्दैन।

हल गरिएको उदाहरण: क्वान्टम सङ्ख्याका छओटा समूह जाँच्ने

समूह (n, l, mₗ, mₛ) जाँच्न प्रत्येक सङ्ख्यालाई क्रमैसँग त्यसअघिको सङ्ख्यासँग जाँच्नुहोस्। पहिलो उल्लङ्घनमा रोकिनुहोस्।

(3, 3, 0, +½) अनुमत छैन: l बढीमा n − 1 = 2 हुनुपर्छ। (4, 2, −3, −½) अनुमत छैन: l = 2 हुँदा mₗ −2 देखि +2 सम्म मात्र हुन्छ। (3, 2, 1, 0) अनुमत छैन: mₛ +½ वा −½ हुनुपर्छ, कहिल्यै 0 होइन। (2, 1, −1, −½) अनुमत छ र यसले 2p कक्षकको इलेक्ट्रोन वर्णन गर्छ। (5, 0, 0, +½) अनुमत छ र यसले 5s इलेक्ट्रोन वर्णन गर्छ। (4, 3, −3, +½) अनुमत छ र यसले 4f इलेक्ट्रोन वर्णन गर्छ।

अनुमत समूहबाट कक्षकको नाम दिन n र त्यसपछि l को अक्षर लेख्नुहोस्। mₗ को मानले उपकोशभित्र एउटा कक्षक छान्छ तर यस सङ्केतनमा यसको नाम बदल्दैन।

प्रतिबन्धअन्तर्गत कक्षक र इलेक्ट्रोन गन्ने

तपाईंले अनुमत l मानहरू, त्यसपछि प्रत्येकका mₗ मानहरू सूचीबद्ध गर्नुभयो र त्यसपछि मात्र प्रतिबन्ध लागू गर्नुभयो भने गणनाका प्रश्न सामान्य बन्छन्। प्रत्येक कक्षक, अर्थात् प्रत्येक अनुमत (n, l, mₗ) संयोजनले दुईओटा इलेक्ट्रोन राख्छ, प्रत्येक चक्रणको एउटा।

मुख्य क्वान्टम सङ्ख्या n भएको कोशमा n² कक्षक र 2n² इलेक्ट्रोन हुन्छन्। n = 4 का लागि l 0, 1, 2 वा 3 हुन सक्छ, जसले 1 + 3 + 5 + 7 = 16 कक्षक र 32 इलेक्ट्रोन दिन्छ।

हल गरिएको उदाहरण 3। परमाणुमा कतिओटा इलेक्ट्रोनको n = 3 र mₗ = +1 हुन सक्छ? n = 3 का लागि l का मान 0, 1 र 2 हुन्। mₗ = +1 l ≥ 1 हुँदा मात्र सम्भव छ, त्यसैले 3p मा एउटा र 3d मा एउटा यस्तो कक्षक छ: दुईओटा कक्षक, चारओटा इलेक्ट्रोन। कतिओटाको n = 5 र mₛ = +½ हुन सक्छ? कोश 5 मा 5² = 25 कक्षक छन्, प्रत्येकमा एउटा +½ इलेक्ट्रोन, त्यसैले 25। कतिओटाको n = 4 र l = 2 हुन सक्छ? त्यो 4d उपकोश हो: 5 कक्षक र 10 इलेक्ट्रोन।

कक्षकका आकार र नोड गन्ने

नोड त्यस्तो ठाउँ हो जहाँ ψ, र त्यसैले इलेक्ट्रोन भेटिने सम्भाव्यता, शून्य हुन्छ। कक्षकमा जम्मा n − 1 नोड हुन्छन्। तीमध्ये l कोणीय नोड हुन्, नाभिकबाट जाने समतल वा शङ्कु, र बाँकी n − l − 1 अरीय नोड हुन्, निश्चित दूरीमा रहेका गोलाकार खोल। OpenStax Chemistry 2e (खण्ड 6.3) ले अरीय नोडको नियम दिन्छ।

s कक्षक (l = 0) गोलाकार हुन्छन् र तिनमा कोणीय नोड हुँदैन, त्यसैले 2s कक्षकमा एउटा अरीय नोड र 3s कक्षकमा दुईओटा हुन्छन्। p कक्षक (l = 1) मा नाभिकका विपरीत तर्फ दुईओटा पत्र (lobe) र तिनका बीचमा एउटा नोडल समतल हुन्छ; तीनओटालाई तिनले देखाउने अक्षअनुसार pₓ, p_y र p_z भनिन्छ। d कक्षक (l = 2) मा दुईओटा कोणीय नोड हुन्छन्। तीमध्ये चारओटामा चारओटा पत्र हुन्छन्; पाँचौँ, d_z², मा z अक्षमा दुईओटा पत्र र बीचमा एउटा घेरा हुन्छ।

हल गरिएको उदाहरण 4। 3p कक्षकमा 3 − 1 − 1 = 1 अरीय नोड र 1 कोणीय नोड हुन्छ। 4d कक्षकमा 1 अरीय नोड र 2 कोणीय नोड, जम्मा 3 हुन्छन्। 3d कक्षकमा कुनै अरीय नोड हुँदैन, र 6s कक्षकमा 5 हुन्छन्।

उही कोशका कक्षकको ऊर्जा कहिले फरक हुन्छ

हाइड्रोजनमा ऊर्जा n मा मात्र निर्भर गर्छ, त्यसैले 3s, 3p र 3d को ऊर्जा उही हुन्छ। एकभन्दा बढी इलेक्ट्रोन भएका परमाणुमा अरू इलेक्ट्रोनले नाभिकलाई असमान रूपमा परिरक्षण गर्छन्। s इलेक्ट्रोन उही कोशको p वा d इलेक्ट्रोनभन्दा नाभिकको नजिकसम्म प्रवेश गर्छ, नाभिकीय आवेशको बढी अंश अनुभव गर्छ र कम ऊर्जामा हुन्छ। परिणाम कोशभित्र s < p < d < f विभाजन हो, जसले इलेक्ट्रोन विन्यास मार्गदर्शनमा समेटिएको भर्ने क्रम तय गर्छ।

तीनओटा 2p कक्षक जस्ता उही उपकोशका कक्षक पृथक परमाणुमा बराबर ऊर्जामै रहन्छन्। तिनलाई अपभ्रष्ट (degenerate) कक्षक भनिन्छ। अणु वा क्रिस्टलमा वरिपरिका परमाणुले त्यो अपभ्रष्टता तोड्न सक्छन्।

जाँच्नुपर्ने क्वान्टम सङ्ख्याका गल्ती

लगभग हरेक त्रुटि सूचीबद्ध गर्ने चरण छोड्दा आउँछ। शङ्का लागेमा गन्नुअघि हरेक अनुमत मान लेख्नुहोस्।

• l लाई n बराबर हुन दिनु। सबैभन्दा ठूलो अनुमत l n − 1 हो, त्यसैले 1p वा 2d कक्षक हुँदैन।
• mₗ मानलाई −l देखि +l को सट्टा 0 देखि l सम्म गन्नु, जसले कक्षक कम गन्छ।
• प्रश्नले इलेक्ट्रोन सोध्दा कक्षक गन्नु, वा उल्टो। प्रत्येक कक्षकले दुईओटा इलेक्ट्रोन राख्छ।
• mₛ लाई 0 वा 1 मान दिनु। चक्रण +½ वा −½ मात्र हुन्छ।
• n − l − 1 लाई नोडको कुल सङ्ख्या मान्नु। त्यो सूत्रले अरीय नोड मात्र गन्छ; कुल n − 1 हो।
• 90% सीमा सतहलाई कडा किनारा ठान्नु। इलेक्ट्रोन घनत्व बिस्तारै घट्दै जान्छ र यसको कुनै तीखो सीमा हुँदैन।