კვანტური რიცხვები და ორბიტალები: წესები, დათვლა და ფორმები

ელექტრონები როგორც ტალღები: დე ბროილის ტალღის სიგრძე

1924 წელს დე ბროილმა ივარაუდა, რომ ნებისმიერ მოძრავ ნაწილაკს აქვს ტალღის სიგრძე λ = h/(mv), სადაც h პლანკის მუდმივაა, m მასა და v სიჩქარე. ყოველდღიური საგნებისთვის ტალღის სიგრძე შესამჩნევად ზედმეტად მცირეა. 40.0 m/s სიჩქარით მოძრავ 0.145 kg ბეისბოლის ბურთს აქვს λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. ელექტრონისთვის, რომლის მასაა 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), ტალღის სიგრძე ატომის ზომის შესადარისია.

გადაწყვეტილი მაგალითი 1. 2.188 × 10⁶ m/s სიჩქარით მოძრავ ელექტრონს აქვს λ = h/(mv). CODATA-ს მნიშვნელობებით h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s და m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, ანუ 0.3324 nm. ეს ის სიჩქარეა, რომელსაც ბორის მოდელი ანიჭებს ელექტრონს წყალბადის ყველაზე დაბალ ორბიტაზე, რომლის რადიუსი ბორის რადიუსია, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). ორბიტის გარშემოწერილობაა 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, ამიტომ მასზე ელექტრონის ერთი ტალღის სიგრძე ეტევა, 0.02%-ზე უკეთესი თანხვედრით. კვანტური ენერგეტიკული დონეები მაშინ მიიღება, როცა ელექტრონის ტალღა თავის სივრცეში თვითგაქრობის გარეშე უნდა მოთავსდეს, ისევე როგორც გიტარის სიმს მხოლოდ გარკვეული სიხშირეებით შეუძლია რხევა.

განუზღვრელობა და ფიქსირებული ორბიტების დასასრული

ჰაიზენბერგის განუზღვრელობის პრინციპი ზღვარს უწესებს იმას, რამდენად ზუსტად შეიძლება ერთდროულად ვიცოდეთ მდებარეობა და იმპულსი: Δx·Δp ≥ ħ/2, სადაც ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

გადაწყვეტილი მაგალითი 2. მოათავსეთ ელექტრონი 1.0 × 10⁻¹⁰ m სიგანის არეში, დაახლოებით ატომის ზომისაში. მაშინ Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, და Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. სიჩქარის განუზღვრელობა თავად სიჩქარის საკმაოდ დიდი ნაწილია, ამიტომ განსაზღვრულ ტრაექტორიას, პლანეტის ორბიტის მსგავსს, ატომში ელექტრონისთვის აზრი არ აქვს.

კვანტური მექანიკა ტრაექტორიას ტალღური ფუნქციით, ψ, ცვლის. მისი კვადრატი, ψ², ალბათობის სიმკვრივეა: მცირე არის მოცულობაზე გამრავლებით ის იძლევა ელექტრონის იქ აღმოჩენის ალბათობას. ორბიტალი ერთი ელექტრონის ტალღური ფუნქციაა, ხოლო ორბიტალების ნაცნობი გამოსახულებები ზედაპირებია, რომლებიც ამ ალბათობის უმეტეს ნაწილს, ხშირად 90%-ს, მოიცავს.

n-ის, l-ის, mₗ-ისა და mₛ-ის დასაშვები მნიშვნელობები

წყალბადის ატომისთვის ტალღური განტოლების ამოხსნა სამ კვანტურ რიცხვს იძლევა, რომელთაგან თითოეული წინამორბედით არის შეზღუდული. მეოთხე ელექტრონის სპინს აღწერს. მთელი საქმე სწორედ შეზღუდვებშია.

• მთავარი კვანტური რიცხვი n = 1, 2, 3, …. ის განსაზღვრავს შრეს და, წყალბადში, ენერგიას. მეტი n ნიშნავს უფრო დიდ და უფრო მაღალი ენერგიის ორბიტალს.
• ორბიტალური (კუთხური მომენტის) კვანტური რიცხვი l = 0, 1, …, n − 1. ის განსაზღვრავს ქვეშრესა და ფორმას: l = 0, 1, 2, 3 შეესაბამება s, p, d, f-ს.
• მაგნიტური კვანტური რიცხვი mₗ = −l, …, 0, …, +l, რაც 2l + 1 მნიშვნელობას იძლევა. ის განსაზღვრავს ორბიტალის ორიენტაციას სივრცეში.
• სპინური კვანტური რიცხვი mₛ = +½ ან −½. ის დანარჩენ სამზე დამოკიდებული არ არის.

გადაწყვეტილი მაგალითი: კვანტური რიცხვების ექვსი ნაკრების შემოწმება

ნაკრების (n, l, mₗ, mₛ) შესამოწმებლად თითოეული რიცხვი თანმიმდევრობით შეადარეთ წინას. პირველივე დარღვევაზე შეჩერდით.

(3, 3, 0, +½) დასაშვები არ არის: l უნდა იყოს არაუმეტეს n − 1 = 2. (4, 2, −3, −½) დასაშვები არ არის: l = 2-ისას mₗ მხოლოდ −2-დან +2-მდე იცვლება. (3, 2, 1, 0) დასაშვები არ არის: mₛ უნდა იყოს +½ ან −½ და არასოდეს 0. (2, 1, −1, −½) დასაშვებია და აღწერს ელექტრონს 2p ორბიტალში. (5, 0, 0, +½) დასაშვებია და აღწერს 5s ელექტრონს. (4, 3, −3, +½) დასაშვებია და აღწერს 4f ელექტრონს.

დასაშვები ნაკრებიდან ორბიტალის დასასახელებლად დაწერეთ n და შემდეგ l-ის შესაბამისი ასო. mₗ-ის მნიშვნელობა ქვეშრის შიგნით ერთ ორბიტალს ირჩევს, მაგრამ ამ აღნიშვნაში მის სახელს არ ცვლის.

ორბიტალებისა და ელექტრონების დათვლა შეზღუდვით

დათვლის კითხვები რუტინული ხდება, თუ ჩამოწერთ l-ის დასაშვებ მნიშვნელობებს, შემდეგ თითოეულისთვის mₗ-ის მნიშვნელობებს და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოიყენებთ შეზღუდვას. თითოეული ორბიტალი, ანუ (n, l, mₗ)-ის თითოეული დასაშვები კომბინაცია, ორ ელექტრონს იტევს, თითო თითოეული სპინით.

n მთავარი კვანტური რიცხვის მქონე შრე შეიცავს n² ორბიტალსა და 2n² ელექტრონს. n = 4-ისთვის l შეიძლება იყოს 0, 1, 2 ან 3, რაც იძლევა 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ორბიტალს და 32 ელექტრონს.

გადაწყვეტილი მაგალითი 3. ატომში რამდენ ელექტრონს შეიძლება ჰქონდეს n = 3 და mₗ = +1? n = 3-ისთვის l-ის მნიშვნელობებია 0, 1 და 2. mₗ = +1 შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როცა l ≥ 1, ამიტომ ასეთი ორბიტალი ერთია 3p-ში და ერთი 3d-ში: ორი ორბიტალი, ოთხი ელექტრონი. რამდენს შეიძლება ჰქონდეს n = 5 და mₛ = +½? მე-5 შრეს აქვს 5² = 25 ორბიტალი, თითოეულში ერთი +½ ელექტრონით, ამიტომ 25. რამდენს შეიძლება ჰქონდეს n = 4 და l = 2? ეს 4d ქვეშრეა: 5 ორბიტალი და 10 ელექტრონი.

ორბიტალების ფორმები და კვანძების დათვლა

კვანძი ისეთი ადგილია, სადაც ψ, და შესაბამისად ელექტრონის აღმოჩენის ალბათობაც, ნულია. ორბიტალს სულ n − 1 კვანძი აქვს. მათგან l კუთხური კვანძია, ბირთვზე გამავალი სიბრტყეები ან კონუსები, დანარჩენი n − l − 1 კი რადიალური კვანძებია, სფერული ზედაპირები ფიქსირებულ მანძილებზე. რადიალური კვანძების წესს იძლევა OpenStax Chemistry 2e (ნაწილი 6.3).

s ორბიტალები (l = 0) სფერულია და კუთხური კვანძები არ აქვს, ამიტომ 2s ორბიტალს ერთი რადიალური კვანძი აქვს, 3s ორბიტალს კი ორი. p ორბიტალებს (l = 1) ბირთვის მოპირდაპირე მხარეებზე ორი ნაწილი აქვს, მათ შორის ერთი კვანძური სიბრტყით; სამი მათგანი აღინიშნება pₓ, p_y და p_z ღერძის მიხედვით, რომლის გასწვრივაც არის მიმართული. d ორბიტალებს (l = 2) ორი კუთხური კვანძი აქვს. ოთხ მათგანს ოთხი ნაწილი აქვს; მეხუთეს, d_z²-ს, z ღერძის გასწვრივ ორი ნაწილი და შუაში რგოლი აქვს.

გადაწყვეტილი მაგალითი 4. 3p ორბიტალს აქვს 3 − 1 − 1 = 1 რადიალური კვანძი და 1 კუთხური კვანძი. 4d ორბიტალს აქვს 1 რადიალური კვანძი და 2 კუთხური კვანძი, სულ 3. 3d ორბიტალს რადიალური კვანძები არ აქვს, 6s ორბიტალს კი 5 აქვს.

როცა ერთი შრის ორბიტალები ენერგიით განსხვავდება

წყალბადში ენერგია მხოლოდ n-ზეა დამოკიდებული, ამიტომ 3s-ს, 3p-სა და 3d-ს ერთნაირი ენერგია აქვს. ერთზე მეტი ელექტრონის მქონე ატომებში სხვა ელექტრონები ბირთვს არათანაბრად ეკრანირებენ. s ელექტრონი იმავე შრის p ან d ელექტრონზე უფრო ახლოს აღწევს ბირთვთან, ბირთვის მუხტს უფრო მეტად განიცდის და ენერგიით უფრო დაბლაა. შედეგად შრის შიგნით ხდება დაყოფა s < p < d < f, რაც განსაზღვრავს შევსების თანმიმდევრობას, განხილულს ელექტრონული კონფიგურაციების სახელმძღვანელოში.

ერთი ქვეშრის ორბიტალები, მაგალითად, სამი 2p ორბიტალი, იზოლირებულ ატომში ენერგიით ტოლი რჩება. მათ გადაგვარებულს უწოდებენ. მოლეკულაში ან კრისტალში მიმდებარე ატომებს შეუძლიათ ეს გადაგვარება მოხსნან.

კვანტური რიცხვების შეცდომები, რომლებიც უნდა შეამოწმოთ

თითქმის ყოველი შეცდომა ჩამოწერის ნაბიჯის გამოტოვებიდან მოდის. თუ ეჭვი გაქვთ, დათვლამდე ჩამოწერეთ ყველა დასაშვები მნიშვნელობა.

• l-ის n-ის ტოლად დაშვება. l-ის უდიდესი დასაშვები მნიშვნელობაა n − 1, ამიტომ 1p ან 2d ორბიტალი არ არსებობს.
• mₗ-ის მნიშვნელობების დათვლა 0-დან l-მდე, −l-დან +l-მდე ნაცვლად, რაც ორბიტალების რაოდენობას ამცირებს.
• ორბიტალების დათვლა, როცა კითხვა ელექტრონებს ეკითხება, ან პირიქით. თითოეული ორბიტალი ორ ელექტრონს იტევს.
• mₛ-ისთვის 0-ის ან 1-ის მინიჭება. სპინი მხოლოდ +½ ან −½ არის.
• n − l − 1-ის გამოყენება კვანძების ჯამურ რაოდენობად. ეს ფორმულა მხოლოდ რადიალურ კვანძებს ითვლის; ჯამი n − 1-ია.
• 90%-იანი სასაზღვრო ზედაპირის მკაცრ კიდედ მიჩნევა. ელექტრონული სიმკვრივე თანდათან მცირდება და მკვეთრი საზღვარი არ აქვს.