Mga Quantum Number at Orbital: Mga Tuntunin, Bilang, at Hugis

Mga electron bilang wave: ang de Broglie wavelength

Noong 1924, iminungkahi ni de Broglie na ang anumang gumagalaw na particle ay may wavelength na λ = h/(mv), kung saan ang h ay ang Planck constant, ang m ay ang masa, at ang v ay ang bilis. Para sa mga pang-araw-araw na bagay, napakaliit ng wavelength para mapansin. Ang 0.145 kg na baseball sa 40.0 m/s ay may λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m. Para sa electron, na may masang 9.109 × 10⁻³¹ kg (NIST CODATA), maihahambing ang wavelength sa laki ng isang atom.

Halimbawang may solusyon 1. Ang electron na gumagalaw sa 2.188 × 10⁶ m/s ay may λ = h/(mv). Gamit ang mga halaga ng CODATA na h = 6.62607 × 10⁻³⁴ J·s at m = 9.10938 × 10⁻³¹ kg, λ = (6.62607 × 10⁻³⁴)/[(9.10938 × 10⁻³¹)(2.188 × 10⁶)] = 3.324 × 10⁻¹⁰ m, o 0.3324 nm. Ang bilis na ito ang itinatakda ng modelo ni Bohr sa electron sa pinakamababang orbit ng hydrogen, na ang radius ay ang Bohr radius, a₀ = 5.29177 × 10⁻¹¹ m (NIST CODATA). Ang circumference ng orbit ay 2πa₀ = 3.325 × 10⁻¹⁰ m, kaya kasya sa paligid nito ang isang wavelength ng electron, na may pagtutugma na mas mahusay pa sa 0.02%. Ang mga quantized na energy level ang nakukuha mo kapag kailangang magkasya ang electron wave sa espasyo nito nang hindi kinakansela ang sarili, katulad ng kuwerdas ng gitara na makakapag-vibrate lang sa ilang partikular na frequency.

Kawalang-katiyakan at ang katapusan ng mga nakapirming orbit

Nagtatakda ang Heisenberg uncertainty principle ng hangganan sa kung gaano kahusay sabay na malalaman ang posisyon at momentum: Δx·Δp ≥ ħ/2, kung saan ħ = h/2π = 1.0546 × 10⁻³⁴ J·s.

Halimbawang may solusyon 2. Ikulong ang electron sa isang rehiyong 1.0 × 10⁻¹⁰ m ang lapad, mga kasinlaki ng atom. Kung gayon, Δp ≥ (1.0546 × 10⁻³⁴ J·s)/(2 × 1.0 × 10⁻¹⁰ m) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg·m/s, at Δv = Δp/m ≥ 5.8 × 10⁵ m/s. Malaking bahagi ng bilis mismo ang kawalang-katiyakan sa bilis, kaya walang kahulugan ang tiyak na landas, tulad ng orbit ng planeta, para sa electron sa isang atom.

Pinapalitan ng quantum mechanics ang landas ng wavefunction, ψ. Ang square nito, ψ², ay ang probability density: kapag minultiply sa volume ng isang maliit na rehiyon, ibinibigay nito ang probability na matagpuan doon ang electron. Ang orbital ay isang wavefunction para sa isang electron, at ang mga pamilyar na larawan ng orbital ay mga surface na nakapaloob sa karamihan ng probability na iyon, kadalasan 90%.

Mga pinapayagang halaga ng n, l, mₗ at mₛ

Ang paglutas sa wave equation para sa atom ng hydrogen ay nagbubunga ng tatlong quantum number, na bawat isa ay nililimitahan ng nauna rito. Ang ikaapat ay naglalarawan sa spin ng electron. Ang mga restriksyon ang buong laro.

• Principal quantum number n = 1, 2, 3, …. Itinatakda nito ang shell at, sa hydrogen, ang enerhiya. Ang mas malaking n ay nangangahulugang mas malaki at mas mataas ang enerhiyang orbital.
• Angular momentum quantum number l = 0, 1, …, n − 1. Itinatakda nito ang subshell at ang hugis: ang l = 0, 1, 2, 3 ay s, p, d, f.
• Magnetic quantum number mₗ = −l, …, 0, …, +l, na nagbibigay ng 2l + 1 na halaga. Itinatakda nito ang oryentasyon ng orbital sa espasyo.
• Spin quantum number mₛ = +½ o −½. Hindi ito nakadepende sa tatlong iba pa.

Halimbawang may solusyon: pagsubok sa anim na set ng quantum number

Para subukin ang isang set (n, l, mₗ, mₛ), suriin ang bawat numero laban sa nauna rito, nang sunod-sunod. Huminto sa unang paglabag.

Hindi pinapayagan ang (3, 3, 0, +½): ang l ay dapat hindi hihigit sa n − 1 = 2. Hindi pinapayagan ang (4, 2, −3, −½): kapag l = 2, ang mₗ ay mula −2 hanggang +2 lang. Hindi pinapayagan ang (3, 2, 1, 0): ang mₛ ay dapat +½ o −½, hindi kailanman 0. Pinapayagan ang (2, 1, −1, −½) at inilalarawan nito ang electron sa 2p orbital. Pinapayagan ang (5, 0, 0, +½) at inilalarawan nito ang 5s electron. Pinapayagan ang (4, 3, −3, +½) at inilalarawan nito ang 4f electron.

Para pangalanan ang orbital mula sa pinapayagang set, isulat ang n na sinusundan ng letra para sa l. Pumipili ang halaga ng mₗ ng isang orbital sa loob ng subshell ngunit hindi nito binabago ang pangalan nito sa notasyong ito.

Pagbibilang ng mga orbital at electron sa ilalim ng restriksyon

Nagiging madali ang mga tanong sa pagbibilang kung ililista mo ang mga pinapayagang halaga ng l, pagkatapos ang mga halaga ng mₗ para sa bawat isa, at saka lang ilalapat ang restriksyon. Ang bawat orbital, ibig sabihin ang bawat pinapayagang kombinasyon ng (n, l, mₗ), ay naglalaman ng dalawang electron, isa sa bawat spin.

Ang shell na may principal quantum number na n ay naglalaman ng n² na orbital at 2n² na electron. Para sa n = 4, ang l ay maaaring 0, 1, 2 o 3, na nagbibigay ng 1 + 3 + 5 + 7 = 16 na orbital at 32 electron.

Halimbawang may solusyon 3. Ilang electron sa isang atom ang maaaring may n = 3 at mₗ = +1? Ang mga halaga ng l para sa n = 3 ay 0, 1, at 2. Posible lang ang mₗ = +1 kapag l ≥ 1, kaya may isang ganitong orbital sa 3p at isa sa 3d: dalawang orbital, apat na electron. Ilan ang maaaring may n = 5 at mₛ = +½? Ang shell 5 ay may 5² = 25 orbital, bawat isa ay may isang electron na +½, kaya 25. Ilan ang maaaring may n = 4 at l = 2? Iyan ang 4d subshell: 5 orbital at 10 electron.

Mga hugis ng orbital at pagbibilang ng mga node

Ang node ay lugar kung saan zero ang ψ, at sa gayon ang probability na matagpuan ang electron. Ang orbital ay may n − 1 na node sa kabuuan. Sa mga ito, l ang mga angular node, mga plane o cone na dumaraan sa nucleus, at ang natitirang n − l − 1 ay mga radial node, mga spherical na shell sa mga tiyak na distansya. Ibinibigay ng OpenStax Chemistry 2e (Seksyon 6.3) ang tuntunin sa radial node.

Ang mga s orbital (l = 0) ay spherical at walang angular node, kaya ang 2s orbital ay may isang radial node at ang 3s orbital ay may dalawa. Ang mga p orbital (l = 1) ay may dalawang lobe sa magkabilang panig ng nucleus na may isang nodal plane sa pagitan ng mga ito; ang tatlo ay may label na pₓ, p_y at p_z ayon sa axis na tinuturo nila. Ang mga d orbital (l = 2) ay may dalawang angular node. Apat sa mga ito ang may apat na lobe; ang ikalima, d_z², ay may dalawang lobe sa kahabaan ng z axis at isang singsing sa gitna.

Halimbawang may solusyon 4. Ang 3p orbital ay may 3 − 1 − 1 = 1 radial node at 1 angular node. Ang 4d orbital ay may 1 radial node at 2 angular node, 3 sa kabuuan. Walang radial node ang 3d orbital, at ang 6s orbital ay may 5.

Kapag magkaiba ang enerhiya ng mga orbital sa iisang shell

Sa hydrogen, nakadepende lang sa n ang enerhiya, kaya may parehong enerhiya ang 3s, 3p, at 3d. Sa mga atom na may higit sa isang electron, hindi pantay na sinasanggalang ng ibang mga electron ang nucleus. Ang s electron ay mas lumalapit sa nucleus kaysa sa p o d electron ng parehong shell, mas nararamdaman ang karga ng nucleus, at mas mababa ang enerhiya. Ang resulta ay ang paghahati na s < p < d < f sa loob ng isang shell, na nagtatakda ng pagkakasunod-sunod ng pagpuno na tinatalakay sa gabay sa mga electron configuration.

Ang mga orbital sa parehong subshell, tulad ng tatlong 2p orbital, ay nananatiling magkapantay ang enerhiya sa isang hiwalay na atom. Tinatawag silang degenerate. Maaaring sirain ng mga nakapaligid na atom sa isang molecule o crystal ang degeneracy na iyon.

Mga pagkakamali sa quantum number na dapat suriin

Halos bawat error ay galing sa paglaktaw sa hakbang ng paglilista. Kapag nag-aalinlangan, isulat ang bawat pinapayagang halaga bago magbilang.

• Pagpapapantay ng l sa n. Ang pinakamalaking pinapayagang l ay n − 1, kaya walang 1p o 2d orbital.
• Pagbibilang ng mga halaga ng mₗ mula 0 hanggang l sa halip na mula −l hanggang +l, na nagpapakulang sa bilang ng mga orbital.
• Pagbibilang ng mga orbital kapag electron ang tinatanong, o ang kabaligtaran. Dalawang electron ang laman ng bawat orbital.
• Pagbibigay sa mₛ ng halagang 0 o 1. Ang spin ay +½ o −½ lang.
• Paggamit ng n − l − 1 bilang kabuuang bilang ng mga node. Mga radial node lang ang binibilang ng formula na iyon; ang kabuuan ay n − 1.
• Pagturing sa 90% na boundary surface bilang matigas na gilid. Unti-unting kumukupas ang electron density at walang matalas na hangganan.