Světlo a atomová spektra: fotony, energetické hladiny a čáry vodíku

Vlnová délka, frekvence a rychlost světla

Světlo je elektromagnetické vlnění. Jeho vlnová délka λ je vzdálenost mezi hřebeny a jeho frekvence ν je počet hřebenů, které projdou daným bodem za sekundu, v hertzích (s⁻¹). Ve vakuu se všechny vlnové délky šíří stejnou rychlostí, c = 2.99792458 × 10⁸ m/s, což je přesná definovaná hodnota uváděná institutem NIST. Tyto tři veličiny spojuje vztah c = λν, takže vlnová délka a frekvence jsou nepřímo úměrné: když jednu zmenšíte na polovinu, druhá se zdvojnásobí.

Viditelné světlo sahá zhruba od 400 nm (fialová) do 700 nm (červená). Ultrafialové světlo má kratší vlnové délky a vyšší frekvence; infračervené má delší vlnové délky a nižší frekvence. Před použitím c = λν převeďte nanometry na metry: 1 nm = 10⁻⁹ m.

Energie fotonu a fotoelektrický jev

Světlo se pohlcuje a vyzařuje po kvantech nazývaných fotony. Každý foton nese energii E = hν = hc/λ, kde h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s je Planckova konstanta, rovněž přesná. Kratší vlnová délka znamená více energie na foton. Jasnější světlo téže barvy znamená více fotonů, nikoli energetičtější fotony.

Řešený příklad 1. Žluté světlo sodíkové výbojky má vlnovou délku blízko 589.0 nm. Jeho frekvence je ν = c/λ = (2.998 × 10⁸ m/s)/(589.0 × 10⁻⁹ m) = 5.090 × 10¹⁴ Hz. Jeden foton nese E = hν = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(5.090 × 10¹⁴ s⁻¹) = 3.373 × 10⁻¹⁹ J. Pro mol fotonů vynásobte Avogadrovou konstantou, 6.022 × 10²³ mol⁻¹: 2.031 × 10⁵ J neboli 203.1 kJ/mol. To je srovnatelné s energií slabé chemické vazby, a proto viditelné a ultrafialové světlo může pohánět fotochemické reakce.

Fotoelektrický jev ukazuje fotonový obraz přímo. Světlo vyráží elektrony z kovu, jen pokud každý foton nese alespoň výstupní práci kovu, Φ. Veškerá energie navíc se stává kinetickou energií elektronu: KEmax = hν − Φ.

Řešený příklad 2. Předpokládejme, že povrch kovu má mezní vlnovou délku 540 nm (hodnota zadaná pro toto cvičení). Jeho výstupní práce je Φ = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ J·s)(2.998 × 10⁸ m/s)/(540 × 10⁻⁹ m) = 3.679 × 10⁻¹⁹ J. Fialové světlo o vlnové délce 405 nm má fotony o energii 4.905 × 10⁻¹⁹ J, takže KEmax = 4.905 × 10⁻¹⁹ J − 3.679 × 10⁻¹⁹ J = 1.226 × 10⁻¹⁹ J. Zaokrouhleno na tři platné číslice je to 1.23 × 10⁻¹⁹ J neboli 0.765 eV. Červené světlo o vlnové délce 650 nm nevyrazí žádné elektrony, ať je jakkoli intenzivní, protože každý foton má jen 3.06 × 10⁻¹⁹ J.

Proč atomy dávají čárová spektra místo duhy

Horká pevná látka, například vlákno žárovky, vyzařuje spojité spektrum. Horký plyn atomů o nízkém tlaku vyzařuje jen určité vlnové délky. Elektrony v atomu mohou obsazovat jen určité energetické hladiny. Když elektron přejde z vyšší hladiny na nižší, atom vyzáří jediný foton, jehož energie se rovná rozdílu hladin: ΔE = hν. Protože existují jen určité rozdíly, objevují se jen určité vlnové délky.

Absorpce je opačný děj. Pošlete-li bílé světlo chladným plynem, atomy odeberou přesně ty vlnové délky, které odpovídají jejich přechodům směrem nahoru, a ve spektru, které je jinak spojité, zůstanou tmavé čáry. Přechod mezi týmiž dvěma hladinami má stejnou vlnovou délku, ať atom pohlcuje, nebo vyzařuje. Soubor rozdílů hladin je pro každý prvek jedinečný, takže spektra identifikují prvky v plamenech, výbojkách i vzdálených hvězdách.

Energetické hladiny vodíku a Rydbergova rovnice

U atomu s jedním elektronem se energetické hladiny řídí jednoduchým vzorcem. OpenStax Chemistry 2e (oddíl 6.2) uvádí Eₙ = −kZ²/n², kde k = 2.179 × 10⁻¹⁸ J, Z je náboj jádra a n = 1, 2, 3, …. Energie je záporná, protože vázaný elektron má nižší energii než volný elektron v klidu, jehož energie je položena rovna nule. S rostoucím n se hladiny zahušťují směrem k nule.

Foton vyzářený při přechodu elektronu z nᵢ na nižší n_f má energii ΔE = kZ²(1/n_f² − 1/nᵢ²). Vydělením hc dostaneme Rydbergovu rovnici pro vodík, 1/λ = R(1/n_f² − 1/nᵢ²), kde R = 1.097 × 10⁷ m⁻¹.

Řešený příklad 3. Najděte vlnovou délku čáry vodíku n = 3 → n = 2. ΔE = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(1/4 − 1/9) = (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(5/36) = 3.0264 × 10⁻¹⁹ J, přičemž až do konce ponecháváme jednu číslici navíc. S hc = 1.9864 × 10⁻²⁵ J·m je λ = hc/ΔE = 6.564 × 10⁻⁷ m neboli 656.4 nm. Příručka NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data uvádí tuto červenou čáru při 656.3 nm ve vzduchu. Rozdíl v poslední číslici pochází ze zaokrouhlení k a z mírně nižší rychlosti světla ve vzduchu.

Řešený příklad 4. Ionizační energie vodíku je energie potřebná k přesunu elektronu z n = 1 na n = ∞, což je samotné k: 2.179 × 10⁻¹⁸ J na atom. Na mol: (2.179 × 10⁻¹⁸ J)(6.022 × 10²³ mol⁻¹) = 1.312 × 10⁶ J neboli 1312 kJ/mol. Hodnota z databáze NIST Atomic Spectra Database, 13.598 eV, odpovídá po převodu 1312.0 kJ/mol.

Lymanova, Balmerova a Paschenova série

Čáry, které končí na téže nižší hladině, tvoří sérii. Všechny se s rostoucím nᵢ k sobě přibližují a blíží se hranici série, kde elektron vychází z volného stavu.

• Lymanova série, končící na n = 1: ultrafialová oblast. Čára 2 → 1 leží při 121.6 nm a hranice série je blízko 91.2 nm.
• Balmerova série, končící na n = 2: čtyři viditelné čáry vodíku, přibližně při 656, 486, 434 a 410 nm pro nᵢ = 3, 4, 5 a 6. Hranice série je blízko 365 nm, v ultrafialové oblasti.
• Paschenova série, končící na n = 3: infračervená oblast. Čára 4 → 3 je blízko 1875 nm.

Chyby u spekter a rychlé kontroly

Většina chyb v těchto úlohách jsou chyby v jednotkách nebo ve znaménku. Dvě kontroly zachytí většinu z nich: foton viditelného světla by měl nést zhruba 2.8 až 5.0 × 10⁻¹⁹ J a větší energetický rozdíl musí dávat kratší vlnovou délku.

• Ponechání vlnové délky v nanometrech při použití c = λν nebo E = hc/λ. Nejprve převeďte na metry.
• Použití Rydbergovy rovnice s prohozenými nᵢ a n_f, což dává zápornou vlnovou délku.
• Očekávání, že každá čára vodíku je viditelná. Celá Lymanova série je ultrafialová a Paschenova série infračervená.
• Domněnka, že jasnější světlo vyráží rychlejší fotoelektrony. Intenzita mění počet elektronů, nikoli jejich maximální energii.
• Použití Eₙ = −kZ²/n² pro helium nebo jakýkoli atom s více než jedním elektronem. Platí jen pro jednoelektronové částice, jako jsou H, He⁺ a Li²⁺.
• Zapomenutí Avogadrovy konstanty při převodu energie na foton na kJ/mol nebo její dvojí použití.

Co Bohrův model vysvětluje a kde končí

Bohrův model atomu vodíku s elektronem na kruhových drahách o pevné energii reprodukuje čáry vodíku a škálování se Z² pro ionty, jako je He⁺. U He⁺ je každá přechodová energie vodíku čtyřikrát větší, takže jeho čára 2 → 1 je blízko 30.4 nm.

Model selhává u atomů se dvěma a více elektrony, protože odpuzování mezi elektrony mění hladiny. Navíc zobrazuje elektrony na určitých drahách, což kvantová mechanika vylučuje. Moderní teorie zachovává pro vodík Bohrovy energetické hladiny, ale dráhy nahrazuje orbitaly, které popisují, kde se elektron pravděpodobně nachází.